【題目】如圖,已知一個(gè)直角三角形紙片ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E、F分別是AC、AB邊上的點(diǎn),連接EF.
(1)如圖①,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處,且使S四邊形ECBF=3S△EDF,AE的長(zhǎng)為 ;
(2)如圖②,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處,且使MF∥CA.
①試判斷四邊形AEMF的形狀,并證明你的結(jié)論;
②求EF的長(zhǎng);
(3)如圖③,若FE的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N,CN=1,CE=,則= .
【答案】(1);(2)①四邊形AEMF是菱形,見(jiàn)解析;②EF;(3)
【解析】
(1)先利用折疊的性質(zhì)得到EF⊥AB,△AEF≌△DEF,則S△AEF=S△DEF,則易得S△ABC=4S△AEF,再證明Rt△AEF∽Rt△ABC,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,再利用勾股定理求出AB即可得到AE的長(zhǎng);
(2)①鄰邊相等的平行四邊形即為菱形,即可證明AEMF為菱形;
②連結(jié)AM交EF于點(diǎn)O,如圖②,設(shè)AE=x,則EM=x,CE=4-x,先證明△CME∽△CBA得到,解出x后計(jì)算出CM=,再利用勾股定理計(jì)算出AM,然后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算EF;
(3)如圖③,作FH⊥BC于H,先證明△NCE∽△NFH,利用相似比得到FH:NH=4:7,設(shè)FH=4x,NH=7x,則CH=7x-1,BH=3-(7x-1)=4-7x,再證明△BFH∽△BAC,利用相似比可計(jì)算出x=,則可計(jì)算出FH和BH,接著利用勾股定理計(jì)算出BF,從而得到AF的長(zhǎng),于是可計(jì)算出的值.
(1)如圖①,
∵△ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處,
∴EF⊥AB,△AEF≌△DEF,
∴S△AEF=S△DEF,
∵S四邊形ECBF=3S△EDF,
∴S△ABC=4S△AEF,
在Rt△ABC中,
∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB=5,
∵∠EAF=∠BAC
∴Rt△AEF∽Rt△ABC,
∴,即S
AE=
(2)①四邊形AEMF是菱形,理由如下:
如圖②:∵折疊后點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處,
∴∠CAB=∠EMF,AE=ME,
又∵MF∥CA,
∴∠CEM=∠EMF.
∴∠CAB=∠CEM.
∴EM∥AF.
∴四邊形AEMF是平形四邊形.
又∵AE=ME,
∴四邊形AEMF是菱形
②連接AM、AM與EF交于點(diǎn)O,如圖②,
設(shè)AE=x,則AE=ME=x,EC=4-x.
∵∠
∴Rt△ECM∽Rt△ACB
∴
即
解得x=,CM=
在Rt△ACM中,
AM=
∵S菱形AEMF=
∴EF=
(3)如圖③,作FH⊥BC于H
∵EC∥FH,
∴△NCE∽△NFH,
∴CN:NH=CE:FH,即1:NH=:FH,
∴FH:NH=4:7,
設(shè)FH=4x,NH=7x,
則CH=7x1,BH=3(7x1)=47x,
∵FH∥AC,
∴△BFH∽△BAC,
∴BH:BC=FH:AC,即(47x):3=4x:4,
解得x=,
∴FH=4x=,BH=47x=
在Rt△BFH中,BF=
∴AF=ABBF=52=3,
∴
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【題目】某中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組想測(cè)量建筑物AB的高度.他們?cè)贑處仰望建筑物頂端,測(cè)得仰角為48°,再往建筑物的方向前進(jìn)6米到達(dá)D處,測(cè)得仰角為64°,求建筑物的高度.(測(cè)角器的高度忽略不計(jì),結(jié)果精確到0.1米)
(參考數(shù)據(jù):sin48°≈,tan48°≈,sin64°≈,tan64°≈2)
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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】已知四邊形ABCD是平行四邊形,CD為⊙O的切線,點(diǎn)C是切點(diǎn).
(1)如圖1,若AB為⊙O直徑,求四邊形ABCD各內(nèi)角的度數(shù);
(2)如圖2,若AB為弦,⊙O的半徑為3cm,當(dāng)BC=2cm時(shí),求CD的長(zhǎng).
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【題目】矩形紙片ABCD,AB=7,BC=4,在矩形邊上有一點(diǎn)P,且DP=3.將矩形紙片折疊,使點(diǎn)B與點(diǎn)P重合,折痕所在直線交矩形兩邊于點(diǎn)E、F,則EF=__________________.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,E是邊AD上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),連結(jié)BE,PQ垂直平分BE,分別交AD、BE、BC于點(diǎn)P、O、Q,連結(jié)BP、EQ.求證:四邊形BPEQ是菱形.
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A.20B.30C.30D.40
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