Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）若拋物線頂點(diǎn)為D，點(diǎn)Q為直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△DOQ的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：方法一：將A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=ax2+bx+c中，得：

，

解得：

∴拋物線的解析式：y=﹣x2+2x+3

方法二：

∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），

∴y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3

（2）

解：方法一：連接BC，直線BC與直線l的交點(diǎn)為P；

∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線l對(duì)稱，

∴PA=PB，

∴BC=PC+PB=PC+PA

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），將B（3，0），C（0，3）代入上式，得：

，解得：

∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=﹣x+3；

當(dāng)x=1時(shí)，y=2，即P的坐標(biāo)（1，2）

方法二：

連接BC，

∵l為對(duì)稱軸，

∴PB=PA，

∴C，B，P三點(diǎn)共線時(shí)，△PAC周長(zhǎng)最小，把x=1代入lBC：y=﹣x+3，得P（1，2）

（3）

解：方法一：拋物線的對(duì)稱軸為：x=﹣ =1，設(shè)M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），則：

MA2=m2+4，MC2=（3﹣m）2+1=m2﹣6m+10，AC2=10；

①若MA=MC，則MA2=MC2，得：

m2+4=m2﹣6m+10，得：m=1；

②若MA=AC，則MA2=AC2，得：

m2+4=10，得：m=± ；

③若MC=AC，則MC2=AC2，得：

m2﹣6m+10=10，得：m1=0，m2=6；

當(dāng)m=6時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去；

綜上可知，符合條件的M點(diǎn)，且坐標(biāo)為 M（1， ）（1，﹣ ）（1，1）（1，0）

方法二：

設(shè)M（1，t），A（﹣1，0），C（0，3），

∵△MAC為等腰三角形，

∴MA=MC，MA=AC，MC=AC，

（1+1）2+（t﹣0）2=（1﹣0）2+（t﹣3）2，∴t=1，

（1+1）2+（t﹣0）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t=± ，

（1﹣0）2+（t﹣3）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t1=6，t2=0，

經(jīng)檢驗(yàn)，t=6時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，故舍去，

綜上可知，符合條件的點(diǎn)有4個(gè)，M1（1， ），M2（1，﹣ ），M3（1，1），M4（1，0）．

（4）

解：作點(diǎn)O關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)O交AC于H，

作HG⊥AO，垂足為G，

∴∠AHG+∠GHO=90°，∠AHG+∠GAH=90°，

∴∠GHO=∠GAH，

∴△GHO∽△GAH，

∴HG2=GOGA，

∵A（﹣1，0），C（0，3），

∴l(xiāng)AC：y=3x+3，H（﹣ ， ），

∵H為OO′的中點(diǎn)，

∴O′（﹣ ， ），

∵D（1，4），

∴l(xiāng)O′D：y= x+ ，lAC：y=3x+3，

∴x=﹣ ，y= ，

∴Q（﹣ ， ）

【解析】方法一：（1）直接將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可．（2）由圖知：A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，那么根據(jù)拋物線的對(duì)稱性以及兩點(diǎn)之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn)．（3）由于△MAC的腰和底沒(méi)有明確，因此要分三種情況來(lái)討論：①M(fèi)A=AC、②MA=MC、③AC=MC；可先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用M點(diǎn)縱坐標(biāo)表示△MAC的三邊長(zhǎng)，再按上面的三種情況列式求解．方法二：（1）略．（2）找出A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)B，根據(jù)C，P，B三點(diǎn)共線求出BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)P．（3）用參數(shù)表示的點(diǎn)M坐標(biāo)，分類討論三種情況，利用兩點(diǎn)間距離公式就可求解．（4）先求出AC的直線方程，利用斜率垂直公式求出OO’斜率及其直線方程，并求出H點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出O’坐標(biāo)，求出DO’直線方程后再與AC的直線方程聯(lián)立，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．