(2013•深圳)如圖1,直線AB過點A(m,0),B(0,n),且m+n=20(其中m>0,n>0).
(1)m為何值時,△OAB面積最大?最大值是多少?
(2)如圖2,在(1)的條件下,函數(shù)y=
k
x
(k>0)
的圖象與直線AB相交于C、D兩點,若S△OCA=
1
8
S△OCD
,求k的值.
(3)在(2)的條件下,將△OCD以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向平移,如圖3,設(shè)它與△OAB的重疊部分面積為S,請求出S與運動時間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式(0<t<10).
分析:(1)由A(m,0),B(0,n),可以表示出OA=m,OB=n,由三角形的面積公式就可以求出結(jié)論;
(2)由(1)的結(jié)論可以求出點A點B的坐標(biāo),就可以求出直線AB的解析式,根據(jù)雙曲線的對稱性就可以求出S△OCD=S△OAC的值,再由三角形的面積公式就可以求出其值;
(3)根據(jù)平移的性質(zhì)可以求得△O′C′D′∽△O′CD,再由相似三角形的性質(zhì)就可以求出就可以求出S△O′C′D′和S△O′CD的面積關(guān)系,從而可以求出S與運動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式.
解答:解:(1)∵A(m,0),B(0,n),
∴OA=m,OB=n.
∴S△AOB=
mn
2

∵m+n=20,
∴n=20-m,
∴S△AOB=
m(20-m)
2
=-
1
2
m2+10m=-
1
2
(m-10)2+50
∵a=-
1
2
<0,
∴拋物線的開口向下,
∴m=10時,S最大=50;

(2)∵m=10,m+n=20,
∴n=10,
∴A(10,0),B(0,10),
設(shè)AB的解析式為y=kx+b,由圖象,得
0=10k+b
10=b
,
解得:
k=-1
b=10
,
y=-x+10.
∵S△OCA=
1
8
S△OCD
,
∴設(shè)S△OCD=8a.則S△OAC=a,
∴S△OBD=S△OAC=a,
∴S△AOB=10a,
∴10a=50,
∴a=5,
∴S△OAC=5,
1
2
OA•y=5,
∴y=1.
1=-x+10,
x=9
∴C(9,1),
∴1=
k
9
,
∴k=9;

(3)∵C(9,1),
∴D(1,9).
移動后重合的部分的面積是△O′C′D′,t秒后點O的坐標(biāo)為O′(t,0),
O′A=10-t,O′E=10.
∵C′D′∥CD,
∴△O′C′D′∽△O′CD,
O′D′
O′D
=
O′A
O′E
=
10-t
10
,
S△O′C′D′
S△O′CD
=(
O′D′
O′D
)2=(
10-t
10
)2

S=40•(
10-t
10
)2
,
S=
2
5
t2-8t+40
(0<t<10).
點評:本題考查了二次函數(shù)的最值的運用,反比例函數(shù)的圖象的對稱性的運用,相似三角形的相似比與面積之比的關(guān)系的運用,懂點問題直線問題的運用,解答時求出函數(shù)的解析式及交點坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵.
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