【題目】如圖1,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°,AB邊上的中垂線DE分別交AB,AC于點D、E,∠BAC的平分線交DE于點F.連接BF、CF、BE.
(1)求證:△BCF為等邊三角形;
(2)猜想EF、EB、EC三條線段的關(guān)系,并說明理由;
(3)如圖2,在BE的延長線上取一點M,連接AM,使AM=AB,連接MC并延長交AF的延長線于點M.求證:AN=MC.
【答案】(1)詳見解析;(2)BE=EF+EC,理由詳見解析;(3)詳見解析.
【解析】
(1)先根據(jù)角平分線定義得:∠BAF=∠CAF=15°,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得:∠ABC=
∠ACB=75°,計算∠FBC=60°,由中垂線的性質(zhì)得:AF=BF,證明△BAF≌△CAF(SAS),
可得BF=CF,根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形,可得結(jié)論;
(2)如圖1,作輔助線,構(gòu)建等邊三角形EFG,證明△BFG≌△CFE,可得BG=EC,可得:
BE=BG+EG=EF+EC;
(3)如圖2,設(shè)AE=x,分別計算∠CAM=90°,∠NAH=60°,∠ANH=30°,可得
,可得結(jié)論.
證明:(1)如圖1,∵∠BAC=30°,AF平分∠BAC,
∴∠BAF=∠CAF=15°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=75°,
∵DE是AB的中垂線,
∴AF=BF,
∴∠BAF=∠ABF=15°,
∴∠FBC=75°﹣15°=60°,
在△BAF和△CAF中,
∵
∴△BAF≌△CAF(SAS),
∴BF=CF,
∴△BCF是等邊三角形;
(2)猜想:BE=EF+EC,
如圖1,在BE上截取EF=FG,
∵DE是AB的中垂線,
∴AE=BE,
∴∠BED=∠AED=60°,
∴△FGE是等邊三角形,
∴∠GFE=60°,EF=EG,
∵∠BFC=60°,
∴∠BFG=∠CFE,
在△BFG和△CFE中,
∵
∴△BFG≌△CFE,
∴BG=EC,
∴BE=BG+EG=EF+EC;
(3)如圖2,∵∠ABE=∠BAE=30°,
∴∠AEM=60°,
∵AB=AM,
∴∠ABE=∠AMB=30°,
∴∠EAM=90°,
設(shè)AE=x,則EM=2x,
∵AB=AC=AM,
∴△ACM是等腰直角三角形,
∴
∠AMC=45°,
過A作AH⊥MN于H,
∴△AMH是等腰直角三角形,
∴
∵AC=AM,AH⊥CM,
∴∠CAH=45°,
∵∠NAC=∠BAC=15°,
∴∠NAH=15°+45°=60°,
∴∠ANH=30°,
∴
∴AN=CM.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某屆世界杯足球賽即將開幕,某媒體足球欄目從參加世界杯的球隊中選出五支傳統(tǒng)強隊:意大利隊、德國隊、西班牙隊、巴西隊、阿根廷隊,對哪支球隊最有可能獲得冠軍進行了問卷調(diào)查,為了使調(diào)查結(jié)果有效,每位被調(diào)查者只能填寫一份問卷,在問卷中必須選擇這五支球隊中的一隊作為調(diào)查結(jié)果.從收集到的4800份有效問卷中隨機抽取部分問卷進行統(tǒng)計,繪制了統(tǒng)計圖表的一部分如下:
根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息,解答下列問題:
(1)a= ,b= ;
(2)根據(jù)以上信息,請補全條形統(tǒng)計圖;
(3)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果,請你估計在提供有效問卷的這4800人中有多少人預(yù)測德國隊最有可能獲得冠軍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀材料:善于思考的小軍在解方程組時,采用了一種“整體代換”的解法,
解:將方程②變形:4x+10y+y=5即2(2x+5y)+y=5③,把方程①代入③得:2×3+y=5,y=﹣1,把y=﹣1代入①得x=4,所以,方程組的解為.
請你解決以下問題:
(1)模仿小軍的“整體代換”法解方程組.
(2)已知x,y滿足方程組,求x2+4y2﹣xy的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,PQ∥MN,A、B分別為直線MN、PQ上兩點,且∠BAN=45°,若射線AM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至AN后立即回轉(zhuǎn),射線BQ繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)至BP后立即回轉(zhuǎn),兩射線分別繞點A、點B不停地旋轉(zhuǎn),若射線AM轉(zhuǎn)動的速度是a°/秒,射線BQ轉(zhuǎn)動的速度是b°/秒,且a、b滿足|a﹣5|+(b﹣1)2=0.(友情提醒:鐘表指針走動的方向為順時針方向)
(1)a= ,b= ;
(2)若射線AM、射線BQ同時旋轉(zhuǎn),問至少旋轉(zhuǎn)多少秒時,射線AM、射線BQ互相垂直.
(3)若射線AM繞點A順時針先轉(zhuǎn)動18秒,射線BQ才開始繞點B逆時針旋轉(zhuǎn),在射線BQ到達BA之前,問射線AM再轉(zhuǎn)動多少秒時,射線AM、射線BQ互相平行?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩車分別從相距480千米的A、B兩地相向而行,乙車出發(fā)1小時后甲車出發(fā),并以各自的速度勻速行駛,途經(jīng)C地,甲車到達C地停留1小時,因有事按原路原速返回A地,乙車從B地直達A地,兩車同時到達A地.甲、乙兩車與A地的距離y(千米)與甲車出發(fā)所用的時間x(小時)的關(guān)系如圖,結(jié)合圖象信息解答下列問題:
(1)圖中數(shù)據(jù)420的含義正確的有 ;(填寫序號)
①乙車出發(fā)時與A地的距離;
②甲車出發(fā)時與B地的距離;
③甲車出發(fā)時,乙車與A地的距離;
(2)乙車的速度是 千米/時,a= 小時;甲車的速度是 千米/時,t= 小時.
(3)在甲車到達C地之前,兩車能否相遇?若能相遇,請求出甲車行駛的時間;若不能,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC=12,AB=CD,BD=15,點E從D點出發(fā),以每秒4個單位的速度沿D→A→D勻速移動,點F從點C出發(fā),以每秒1個單位的速度沿CB向點B作勻速移動,點G從點B出發(fā)沿BD向點D勻速移動,三個點同時出發(fā),當有一個點到達終點時,其余兩點也隨之停止運動,假設(shè)移動時間為t秒.
(1)試說明:AD∥BC;
(2)在移動過程中,小明發(fā)現(xiàn)有△DEG與△BFG全等的情況出現(xiàn),請你探究這樣的情況會出現(xiàn)幾次?并分別求出此時的移動時間t和G點的移動距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】推理填空:
如圖,已知∠1=∠2,∠B=∠C,可推得AB∥CD.理由如下:
∵∠1=∠2(已知),且∠1=∠4( )
∴∠2=∠4 (等量代換)
∴CE∥BF ( )
∴∠ =∠3( )
又∵∠B=∠C(已知),∴∠3=∠B(等量代換)
∴AB∥CD ( )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一條筆直的公路上有、兩地,甲乙兩人同時出發(fā),甲騎自行車從地到地,乙騎自行車從地到地,到達地后立即按原路返回地.如圖是甲、乙兩人離地的距離與行駛時間之間的函數(shù)圖象,下列說法中①、兩地相距30千米;②甲的速度為15千米/時;③點的坐標為(,20);④當甲、乙兩人相距10千米時,他們的行駛時間是小時或小時. 正確的個數(shù)為( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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