Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)是的平分線與拋物線的交點(diǎn)．

求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；

點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，且以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

若點(diǎn)是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為請(qǐng)寫(xiě)出的面積與之間的關(guān)系式，并求出為何值時(shí)，的面積有最大值，最大值為多少．

Answer 1

【答案】(1) ， ；(2) ；(3) 時(shí)，有最大值，最大值為

【解析】

（1）根據(jù)，可得，再利用待定系數(shù)法即可求得，再根據(jù)點(diǎn)是的平分線與拋物線的交點(diǎn)，可設(shè)，代入拋物線，即可求解．

（2）分以OB、OD為鄰邊的平行四邊形、以O(shè)B、BD為鄰邊的平行四邊形、以DB、OD為鄰邊的平行四邊形三種情況 ．

（3）作直線軸于點(diǎn)交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式，根據(jù)，可得直線解析式為，，即可求解．

把兩點(diǎn)代入拋物線

可得

得拋物線解析式為

點(diǎn)是的平分線與拋物線的交點(diǎn)，

設(shè)，代入拋物線

得(舍去，因?yàn)辄c(diǎn)第一象限)

（2）

連接BD

若是以OB、OD為鄰邊的平行四邊形

則

故只需把點(diǎn)D向右平移3個(gè)單位即得到點(diǎn)

由（1）知D(2,2)

∴

若是以O(shè)B、BD為鄰邊的平行四邊形

則

故只需把點(diǎn)D向左平移3個(gè)單位即得到點(diǎn)

∴

若是以DB、OD為鄰邊的平行四邊形

則OD∥

則只需把點(diǎn)D向下平移2個(gè)單位再向右平移1個(gè)單位即得到B，對(duì)應(yīng)地只需把點(diǎn)O向下平移2個(gè)單位再向右平移1個(gè)單位即得到

∴

綜上所述，滿足條件的E點(diǎn)坐標(biāo)為：．

作直線軸于點(diǎn)交于點(diǎn)

點(diǎn)坐標(biāo)為

設(shè)直線的解析式.

解得：

可得直線解析式為

時(shí)，有最大值，最大值為