Question

（2013•歷城區(qū)三模）如圖，已知點（1，2）在函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上，矩形ABCD的邊BC在x正半軸上，E是對角線AC、BD的交點，函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象又經(jīng)過A，E兩點，點E的縱坐標(biāo)為m．
（1）求k的值；
（2）求點A的坐標(biāo)（用m表示）；
（3）是否存在實數(shù)m，使四邊形ABCD為正方形？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接把點（1，2）代入函數(shù)y=

k

x

即可求出k的值，進(jìn)而得出反比例函數(shù)的解析式；
（2）過E作EF⊥BC于F，由三角形中位線定理可得AB=2EF，即點A的縱坐標(biāo)2m，進(jìn)而可得可得A點坐標(biāo)；
（3）設(shè)點E的坐標(biāo)（

2

m

，m）由EF=BF得，m=

2

m

-

1

m

解可得m的值．

解答：解：（1）∵點（1，2）在反比例函數(shù)y=

k

x

上，
∴k=1×2=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

2

x

；

（2）過E作EF⊥BC于F，
∵點E是矩形ABCD對角線的交點，
∴AE=CE，
∴EF是△ABC中，EF為其中位線，
∴AB=2EF，
∵點A的縱坐標(biāo)2m，且點A在反比例函數(shù)y=

2

x

（x＞0）上，
∴A點坐標(biāo)為（

1

m

，2m）；

（3）存在．
∵點E在反比例函數(shù)y=

2

x

的圖象上，
∴設(shè)點E的坐標(biāo)（

2

m

，m），
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC=2m，BF=m，
∴EF=BF，m=

2

m

-

1

m

=

1

m

，
∴m²=1．
∴m=±1
∵m＞0，
∴m=1．

點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點、矩形的性質(zhì)等相關(guān)知識，難度適中．