【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,O為原點.點A在x軸的正半軸上,點B在y軸的正半軸上,tan∠OAB=2.二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖象經(jīng)過點A,B,頂點為D.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)將△OAB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后,點B落到點C的位置.將上述二次函數(shù)圖象沿y軸向上或向下平移后經(jīng)過點C.請直接寫出點C的坐標(biāo)和平移后所得圖象的函數(shù)解析式;
(3)設(shè)(2)中平移后所得二次函數(shù)圖象與y軸的交點為B1 , 頂點為D1 . 點P在平移后的二次函數(shù)圖象上,且滿足△PBB1的面積是△PDD1面積的2倍,求點P的坐標(biāo).
【答案】
(1)解:由題意,點B的坐標(biāo)為(0,2),
∴OB=2,
∵tan∠OAB=2,即 =2.
∴OA=1.
∴點A的坐標(biāo)為(1,0).
又∵二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖象過點A,
∴0=12+m+2.
解得m=﹣3,
∴所求二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣3x+2
(2)解:作CE⊥x軸于E,
由于∠BAC=90°,可知∠CAE=∠OBA,△CAE≌△OBA,
可得CE=OA=1,AE=OB=2,可得點C的坐標(biāo)為(3,1).
由于沿y軸運(yùn)動,故圖象開口大小、對稱軸均不變,
設(shè)出解析式為y=x2﹣3x+c,代入C點作標(biāo)得1=9﹣9+c,c=1,
所求二次函數(shù)解析式為y=x2﹣3x+1.
(3)解:由(2),經(jīng)過平移后所得圖象是原二次函數(shù)圖象向下平移1個單位后所得的圖象,
那么對稱軸直線x= 不變,且BB1=DD1=1.
∵點P在平移后所得二次函數(shù)圖象上,
設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,x2﹣3x+1).
在△PBB1和△PDD1中,∵S△PBB1=2S△PDD1,
∴邊BB1上的高是邊DD1上的高的2倍.
①當(dāng)點P在對稱軸的右側(cè)時,x=2(x﹣ ),得x=3,
∴點P的坐標(biāo)為(3,1);
②當(dāng)點P在對稱軸的左側(cè),同時在y軸的右側(cè)時,x=2( ﹣x),得x=1,
∴點P的坐標(biāo)為(1,﹣1);
③當(dāng)點P在y軸的左側(cè)時,x<0,又﹣x=2( ﹣x),
得x=3>0(舍去),
∴所求點P的坐標(biāo)為(3,1)或(1,﹣1)
【解析】(1)二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖象經(jīng)過點B,可得B點坐標(biāo)為(0,2),再根據(jù)tan∠OAB=2求出A點坐標(biāo),將A代入解析式即可求得函數(shù)解析式;(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性可輕松求得C點坐標(biāo),由于沿y軸運(yùn)動,故圖象開口大小、對稱軸均不變,設(shè)出解析式,代入C點作標(biāo)即可求解;(3)由于P點位置不固定,由圖可知要分①當(dāng)點P在對稱軸的右側(cè)時,②當(dāng)點P在對稱軸的左側(cè),同時在y軸的右側(cè)時,③當(dāng)點P在y軸的左側(cè)時,三種情況討論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,B、C是⊙A上的兩點,AB的垂直平分線與⊙A交于E、F兩點,與線段AC交于D點.若∠BFC=20°,則∠DBC=( )
A.30°
B.29°
C.28°
D.20°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直角梯形AOCD的邊OC在x軸上,O為坐標(biāo)原點,CD垂直于x軸,D(5,4),AD=2.若動點E、F同時從點O出發(fā),E點沿折線OA→AD→DC運(yùn)動,到達(dá)C點時停止;F點沿OC運(yùn)動,到達(dá)C點時停止,它們運(yùn)動的速度都是每秒1個單位長度.設(shè)E運(yùn)動x秒時,△EOF的面積為y(平方單位),則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】完成下面的證明,在括號內(nèi)填上理由.
如圖,,.
求證:.
證明: (已知),
(____________________).
(____________________).
__________(____________________).
(____________________).
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【題目】小敏和小強(qiáng)到某廠參加社會實踐活動,該廠用白板紙做包裝盒,每張白板紙可裁成3個盒身或5個盒蓋,且一個盒身和兩個盒蓋恰好能做成一個包裝盒.設(shè)裁成盒身的白板紙有x張,請回答下列問題:
(1)若有11張白板紙.
①請完成下表:
②問:最多可做多少個包裝盒.
(2)若倉庫中已有4個盒身,3個盒蓋和23張白板紙,現(xiàn)把白板紙分成兩部分,一部分裁成盒身,一部分裁成盒蓋.當(dāng)盒身與盒蓋全部配套用完時,可做多少個包裝盒?
(3)若有n張白板紙(70≤n≤80),先把一張白板紙裁出2個盒身和1個盒蓋(余下一點邊角料不要),剩下白板紙分成兩部分,一部分裁成盒身,一部分裁成盒蓋.當(dāng)盒身與盒蓋全部配套用完時,n的值可以是______.
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【題目】計算:
(1)(-2xy)(3x2-2xy-4y2);
(2)(-m2n-mn+1)·(-6m3n);
(3)(-3x2y)2·(-4xy2-5y3-6x+1).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果三個數(shù)a、b、c滿足其中一個數(shù)的兩倍等于另外兩個數(shù)的和,我們稱這三個數(shù)a、b、c是“等差數(shù)”若正比例函數(shù)y=2x的圖象上有三點A(m﹣1,y1)、B(m,y2)、C(2m+1,y3),且這三點的縱坐標(biāo)y1、y2、y3是“等差數(shù)”,則m=_____.
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【題目】已知四個點.
(1)在圖中描出,,,四個點,順次連接四點;
(2)直接寫出線段之間的位置關(guān)系_____________;
(3)求四邊形的面積
(4)將四邊形向右平移2個單位長度,向上平移4個單位長度得到四邊形寫出各頂點坐標(biāo)___________, ____________, ____________, ____________.
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【題目】聰聰是一位非常喜歡動腦筋的初一學(xué)生,特別是學(xué)了幾何后,更覺得數(shù)學(xué)奇妙,當(dāng)聰聰學(xué)完圖形的初步知識后對角平分線興趣更濃厚,下面請你和聰聰同學(xué)一起來探究奇妙的角平分線吧已知,射線OE,OF分別是和的角平分線.
如圖1,若射線OC在的內(nèi)部,且,求的度數(shù);
如圖2,若射線OC在的內(nèi)部繞點O旋轉(zhuǎn),且,求的度數(shù);
若射線OC在的外部繞點O旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)中,均指小于的角,其余條件不變,請借助圖3探究的大小,請直接寫出的度數(shù)不寫探究過程
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