Question

【題目】定義：有一個內角為90°，且對角線相等的四邊形稱為準矩形．

（1）①如圖1，準矩形ABCD中，∠ABC=90°，若AB=2，BC=3，則BD=；
②如圖2，直角坐標系中，A（0，3），B（5，0），若整點P使得四邊形AOBP是準矩形，則點P的坐標是；（整點指橫坐標、縱坐標都為整數(shù)的點）
（2）如圖3，正方形ABCD中，點E、F分別是邊AD、AB上的點，且CF⊥BE，求證：四邊形BCEF是準矩形；
（3）已知，準矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，當△ADC為等腰三角形時，請直接寫出這個準矩形的面積是 ．

Answer 1

【答案】
（1）,（5,3）,（3,5）
（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC∠A=∠ABC=90°，

∴∠EAF+∠EBC=90°，

∵BE⊥CF，

∴∠EBC+∠BCF=90°，

∴∠EBF=∠BCF，

∴△ABE≌△BCF，

∴BE=CF，

∴四邊形BCEF是準矩形

（3） ； ；
【解析】（1）①∵∠ABC=90，

∴BD= ，

故答案為 ，

②∵A（0，3），B（5，0），

∴AB= =，

設點P（m，n），A（0，0），

∴OP= =，

∵m，n都為整數(shù)，

∴點P（3，5）或（5，3）；

故答案為P（3，5）或（5，3）；

（ 3 ） ； ；

∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，

∴BC=2 ，AC=4，

準矩形ABCD中，BD=AC=4，

①當AC=AD時，如圖1，作DE⊥AB，

∴AE=BE AB=1，

∴DE= ，

∴S準矩形ABCD=S△ADE+S梯形BCDE

= DE×AE+ （BC+DE）×BE

= × + （2 + ）×1

= + ；

②當AC=CD時，如圖2，

作DF⊥BC，

∴BD=CD，

∴BF=CF= BC= ，

∴DF= ，

∴S準矩形ABCD=S△DCF+S梯形ABFD

= FC×DF+ （AB+DF）×BF

= × × + （2+ ）×

= + ；

③當AD=CD，如圖3，

連接AC中點和D并延長，連接BG，過B作BH⊥DG，

∴BD=CD=AC=4，

∴AG= AC=2，

∵AB=2，

∴AB=AG，

∵∠BAC=60°，

∴∠ABG=60°，

∴∠CBG=30°

在Rt△BHG中，BG=2，∠BGH=30°，

∴BH=1，

在Rt△BHM中，BH=1，∠CBH=30°，

∴BM= ，HM= ，

∴CM= ，

在Rt△DHB中，BH=1，BD=4，

∴DH= ，∴DM=DH﹣MH= ﹣ ，

∴S準矩形ABCD=S△DCF+S四邊形AMCD

= BM×AB+ AC×DM

= × ×2+ ×4×（ ﹣ ）

=2 ；

故答案為 ； ； ．

（1）①中易由勾股定理可得AC=，再由準矩形定義易得BD=AC=
②中由勾股定理可得AB=，所以OP=，又m,n為整數(shù)，可得P點只能為（3，5）或（5，3）。
（2）由準矩形定義只需證有一個直角以及對角線相等即可，由于有正方形ABCD可得∠FBC=90°；所以只需證對角線相等，由正方形性質易得△ABE≌△BCF，證得BE=CF，準矩形得證。
（3）由準矩形ABCD中，∠ABC=90°可知，只需證明對角線相等即可，又由△ADC為等腰三角形時所以需要分情況討論，即AD=AC；CD=CA；DA=DC三種情況，又∠BAC=60°，AB=2；所以由割補法，可計算得到共有三種結果。