Question

【題目】二次函數(shù)＝＋＋的頂點(diǎn)Ｍ是直線＝－和直線＝＋的交點(diǎn)．

（1）若直線＝＋過點(diǎn)D（0，－3），求M點(diǎn)的坐標(biāo)及二次函數(shù)＝＋＋的解析式；

（2）試證明無論取任何值，二次函數(shù)＝＋＋的圖象與直線＝＋總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（3）在（1）的條件下，若二次函數(shù)＝＋＋的圖象與軸交于點(diǎn)C，與的右交點(diǎn)為A，試在直線＝－上求異于M的點(diǎn)P，使P在△CMA的外接圓上．

Answer 1

【答案】（1）M點(diǎn)坐標(biāo)為M（2，－1），二次函數(shù)＝＋＋的解析式為： ＝－4＋3；

（2）證明見解析；

（3）P（－， ）

【解析】（本小題滿分１４分）

解：（１）把Ｄ（０，－３）坐標(biāo)代入直線＝＋中，

得＝－３，從而得直線＝－３．……………………………………………１分

由Ｍ為直線＝－與直線＝－３的交點(diǎn)，

得，………………………………………………………………………２分

解得，∴得Ｍ點(diǎn)坐標(biāo)為Ｍ（２，－１）．…………………………………３分

∵Ｍ為二次函數(shù)＝＋＋的頂點(diǎn)，∴其對(duì)稱軸為＝２，

由對(duì)稱軸公式： ＝－，得－＝２，∴＝－４；

由＝－１，得＝－１，得＝３．

∴二次函數(shù)＝＋＋的解析式為： ＝－４＋３；………………４分

［也可用頂點(diǎn)式求得解析式：由Ｍ（２，－１），

得＝－１，展開得＝－４＋３］

（２）∵Ｍ是直線＝－和＝＋的交點(diǎn)，得，

解得，∴得Ｍ點(diǎn)坐標(biāo)為Ｍ（－， ）．…………………………１分

從而有－＝－和＝，

解得＝； ＝＋．…………………………………………………３分

由，得＋（－１）＋－＝０，……………………４分

該一元二次方程根的判別式

⊿＝（－１）２－４（－）

＝（－１）２－４（＋－）＝１＞０，…………………………５分

∴二次函數(shù)＝＋＋的圖象與直線＝＋總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（３）解法①：

由（１）知，二次函數(shù)的解析式為： ＝－４＋３，

當(dāng)＝０時(shí)， ＝３．∴點(diǎn)Ｃ的坐標(biāo)為Ｃ（０，３）．……………………………１分

令＝０，即－４＋３＝０，解得＝１， ＝３，

∴點(diǎn)Ａ的坐標(biāo)為Ａ（３，０）．………………………………………………………２分

由勾股定理，得ＡＣ＝３．∵Ｍ點(diǎn)的坐標(biāo)為Ｍ（２，－１），

過Ｍ點(diǎn)作軸的垂線，垂足的坐標(biāo)應(yīng)為（２，０），由勾股定理，

得ＡＭ＝；過Ｍ點(diǎn)作軸的垂線，垂足的坐標(biāo)應(yīng)為（０，－１），

由勾股定理，得ＣＭ＝＝＝２．

∵ＡＣ２＋ＡＭ２＝２０＝ＣＭ２，∴△ＣＭＡ是直角三角形，……………………３分

ＣＭ為斜邊，∠ＣＡＭ＝９０°．

直線＝－與△ＣＭＡ的外接圓的一個(gè)交點(diǎn)為Ｍ，另一個(gè)交點(diǎn)為Ｐ，

則∠ＣＰＭ＝９０°．即△ＣＰＭ為Ｒt△．………………………………………４分

設(shè)Ｐ點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則Ｐ（，－ ）．過點(diǎn)Ｐ作軸垂線，

過點(diǎn)Ｍ作軸垂線，兩條垂線交于點(diǎn)Ｅ（如圖４），則Ｅ（，－１）．

過Ｐ作ＰＦ⊥軸于點(diǎn)Ｆ，則Ｆ（０，－ ）．

在Ｒt△ＰＥＭ中，ＰＭ２＝ＰＥ２＋ＥＭ２

＝（－＋１）２＋（２－）２＝－５＋５．

在Ｒt△ＰＣＦ中，ＰＣ２＝ＰＦ２＋ＣＦ２＝＋（３＋）２

＝＋３＋９．在Ｒt△ＰＣＭ中，ＰＣ２＋ＰＭ２＝ＣＭ２，

得＋３＋９＋－５＋５＝２０，

化簡整理得５－４－１２＝０，解得＝２， ＝－．

當(dāng)＝２時(shí)， ＝－１，即為Ｍ點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)．

∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－，縱坐標(biāo)為．

∴Ｐ（－， ）．……………………………………………………………………５分

解法②［運(yùn)用現(xiàn)行高中基本知識(shí)（解析幾何）：線段中點(diǎn)公式及兩點(diǎn)間距離公式］：

設(shè)線段ＣＭ的中點(diǎn)（即△ＣＭＡ內(nèi)接圓的圓心）為Ｈ，則由線段中點(diǎn)公式，可求出Ｈ的坐標(biāo)為Ｈ（１，１）．∵點(diǎn)Ｐ在⊙Ｈ上，∴點(diǎn)Ｐ到圓心Ｈ的距離等于半徑．

設(shè)點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo)為：Ｐ（，－ ），由兩點(diǎn)間的距離公式，得ＰＨ的長度為：

，從而有： ＝，即

＝５，化簡，整理，得化簡整理得５－４－１２＝０，解得＝２， ＝－．當(dāng)＝２時(shí)， ＝－１，即為Ｍ點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)．

∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－，縱坐標(biāo)為．

∴Ｐ（－， ）．