【題目】如圖,正方形ABCD中, O為BD中點(diǎn),以BC為邊向正方形內(nèi)作等邊BCE,連接并延長AE交CD于F,連接BD分別交CE,AF于G ,H ,下列結(jié)論:①∠CEH=45°;②GF//DE;③2OH+DH=BD;④BG=DG;⑤△BEC : S△BGC=.其中正確的結(jié)論是( )
A.①②⑤B.①②④C.①②D.②③④
【答案】A
【解析】
①根據(jù)正方形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)求出∠BAE=∠BEA=∠CED=∠CDE=75°,∠EAD=∠EDA=15°,然后可得∠CEH=45°.
②由條件可以得出∠BDE=30°,∠DEF=30°,然后證明△DEF≌△EDG,得出DF=EG,進(jìn)而得出CG=CF,求出∠CGF=75°,由∠CED=75°,就可以得出GF∥DE;
③由O為BD中點(diǎn)可以得出,BD=2OD=2(OH+HD),BDDH=BH,得出BH=2(OH+HD)DH=2OH+DH;
④ 設(shè)AB=BC=CD=AD=x,推出BM=x,DN=x,由可得,即可求出BG=DG.
⑤作AF的垂直平分線交AD于P,設(shè)DF=a,CE=BC=AD=,GE=DF=a,然后可得GC=,由S△BEC:S△BGC=EC:CG,即可解決問題.
解:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,∠ADB=∠CDB=45°.
∵△BEC是等邊三角形,
∴BC=BE=CE,∠EBC=∠BCE=∠BEC=60°,
∴AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°,
∴∠BAE=∠BEA=∠CED=∠CDE=75°,
∴∠EAD=∠EDA=15°,
∴∠DEF=30°,
∴∠CEH=45°,故①正確;
∵∠EDC=75°,∠BDC=45°,
∴∠EDB=30°,
∴∠DEF=∠EDG,∠EGD=75°.
∵∠ADC=90°,∠DAF=15°,
∴∠EFD=75°,
∴∠EFD=∠EGD.
在△DEF和△EDG中,,
∴△DEF≌△EDG,
∴DF=EG,
∵EC=DC,
∴ECEG=DCDF,
∴CG=CF,
∴∠CGF=∠CFG=75°,
∴∠CED=∠CGF,
∴GF∥DE,故②正確;
O為BD中點(diǎn),
∴BD=2OD=2(OH+HD),
∵BDDH=BH,
∴BH=2(OH+HD)DH=2OH+2HDHD=2OH+DH.故③錯(cuò)誤;
作BM⊥CG于M,DN⊥CE于N,
∴∠BMC=∠DNC=90°,
∴BM=sin60°BC,DN=sin30°CD,
設(shè)AB=BC=CD=AD=x,
∴BM=,DN=,
∵,
∴,即BG=DG,故④錯(cuò)誤;
⑤作AF的垂直平分線交AD于P,則∠DAF=∠AFP=15°,
∴∠DPF=30°,
設(shè)DF=a,
則PF=2a,DP=,
∴AP=PF=2a,
∴AD=,
∴CE=BC=AD=,GE=DF=a,
∴GC=,
∵S△BEC:S△BGC=EC:GC,
∴S△BEC:S△BGC=,故⑤正確.
綜上所述,正確的是①②⑤,
故選:A.
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(1)嘗試探究:如圖(1) ; ;
(2)類比探索:如圖(2),點(diǎn)在直線上,且在點(diǎn)右側(cè),還能得出與(1)中同樣的結(jié)論么?請(qǐng)寫出你得到的結(jié)論并證明:
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