【題目】如圖,一個Rt△DEF直角邊DE落在AB上,過A點作射線AC與斜邊EF平行,已知AB=12,DE=4,DF=3,點P從A點出發(fā),沿射線AC方向以每秒2個單位的速度運動,Q為AP中點,設運動時間為t秒(t>0)
(1)若點D與點B重合,當t=5時,連接QE,PF,此時△AQE為三角形、四邊形QEFP為形;
(2)如圖②,若在點P運動時,Rt△DEF同時沿著BA方向以每秒1個單位的速度運動,當D點到A點時,兩個運動都停止. ①如圖①,若M為EF中點,當D、M、Q三點在同一直線上時,求t的值;
②在運動過程中,以點Q為圓心的圓與Rt△DEF兩個直角邊所在直線都相切時,求運動時間t.
【答案】
(1)等腰;菱
(2)解:①當D、M、Q三點在同一直線上時,如圖②,
此時AQ=t,EM= EF= ,AD=12﹣t,DE=4.
∵EF∥AC,
∴△DEM∽△DAQ,
∴ = ,
∴ = ,
解得t= ;
②存在以點Q為圓心的圓與Rt△DEF兩個直角邊所在直線都相切,
此時點Q在∠ADF的角平分線上或在∠FDB的角平分線上.
Ⅰ.當點Q在∠ADF的角平分線上時,
過點Q作QH⊥AB于H,如圖③,
則有∠HQD=∠HDQ=45°,
∴QH=DH.
∵△AHQ∽△EDF(已證),
∴ = = ,
∴ = = ,
∴QH= ,AH= ,
∴DH=QH= .
∵AB=AH+HD+BD=12,DB=t,
∴ + +t=12,
∴t=5;
Ⅱ.當點Q在∠FDB的角平分線上時,
過點Q作QH⊥AB于H,如圖④,
同理可得DH=QH= ,AH= .
∵AB=AD+DB=AH﹣DH+DB=12,DB=t,
∴ ﹣ +t=12,
∴t=10.
綜上所述:當t為5秒或10秒時,以點Q為圓心的圓與Rt△DEF兩個直角邊所在直線都相切.
【解析】解:(1)四邊形EFPQ是菱形. 理由:過點Q作QH⊥AB于H,如圖①,
∵t=5,∴AP=2×5=10.
∵點Q是AP的中點,
∴AQ=PQ=5.
∵∠EDF=90°,DE=4,DF=3,
∴EF= =5,
∴PQ=EF=5.
∵AC∥EF,
∴四邊形EFPQ是平行四邊形,且∠A=∠FEB.
又∵∠QHA=∠FDE=90°,
∴△AHQ∽△EDF,
∴ = = .
∵AQ=EF=5,
∴AH=ED=4.
∵AE=12﹣4=8,
∴HE=8﹣4=4,
∴AH=EH,
∴AQ=EQ,
∴PQ=EQ,
∴△AQE是等腰三角形,平行四邊形EFPQ是菱形;
所以答案是:等腰,菱形.
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【題目】如圖所示的格點紙中每個小正方形的邊長均為1,以小正方形的頂點為圓心,2為半徑做了一個扇形,用該扇形圍成一個圓錐的側面,針對此做法,小明和小亮通過計算得出以下結論:小明說此圓錐的側面積為 π;小亮說此圓錐的弧長為 π,則下列結論正確的是( )
A.只有小明對
B.只有小亮對
C.兩人都對
D.兩人都不對
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【題目】從甲、乙兩名同學中選拔一人參加“中華好詩詞”大賽,在相同的測試條件下,對兩人進行了五次模擬,并對成績(單位:分)進行了整理,計算出 =83分, =82分,繪制成如下尚不完整的統計圖表. 甲、乙兩人模擬成績統計表
① | ② | ③ | ④ | ⑤ | |
甲成績/分 | 79 | 86 | 82 | a | 83 |
乙成績/分 | 88 | 79 | 90 | 81 | 72 |
根據以上信息,回答下列問題:
(1)a=
(2)請完成圖中表示甲成績變化情況的折線.
(3)經計算S甲2=6,S乙2=42,綜合分析,你認為選拔誰參加比賽更合適,說明理由.
(4)如果分別從甲、乙兩人5次的成績中各隨機抽取一次成績進行分析,求抽到的兩個人的成績都大于82分的概率.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,O是AC與BD的交點,過O點的直線EF 與AB、CD的延長線分別
交于E、F.
(1)證明:△BOE≌△DOF.
(2)當EF與AC滿足什么條件時,四邊形AECF是菱形,為什么?
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為3,將等腰直角三角板的45°角的頂點放在點B處,直角頂點F在CD的延長線上,BF與AD交于點G,斜邊與CD交于點E,若CE=1,則DG的長為( )
A. B. C. D. 3
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=24 cm, BC=8 cm,點P從點A開始沿折線A-B-C-D以4 cm/s的速度移動,點Q從點C開始沿CD邊以2 cm/s的速度移動,如果點P,Q分別從點A,C同時出發(fā),當其中一點到達點D時,另一點也隨之停止運動,設運動時間為ts.當t為何值時,四邊形QPBC為矩形?
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【題目】(閱讀)|4﹣1|表示4與1差的絕對值,也可以理解為4與1兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離;|4+1|可以看做|4﹣(﹣1)|,表示4與﹣1的差的絕對值,也可以理解為4與﹣1兩數在數軸上所對應的兩點間的距離.
(1)|4﹣(﹣1)|=
(2)|5+2|=
(3)利用數軸找出所有符合條件的整數x,使得|x+3|=5,則x= .
(4)利用數軸找出所有符合條件的整數x,使得|x+3|+|x﹣2|=5,這樣的整數是: .
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【題目】先閱讀下列材料,然后解答問題.
探究:用的冪的形式表示aman的結果(m、為正整數).
根據乘方的意義,aman==am+n.
(1)請根據以上結論填空:36×38= ,52×53×57= ,(a+b)3(a+b)5= ;
(2)仿照以上的分析過程,用的冪的形式表示(am)n的結果(提示:將am看成一個整體).
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