Question

如圖所示，某學(xué)校擬建一個含內(nèi)接矩形的菱形花壇(花壇為軸對稱圖形).矩形的四個頂點分別在菱形四條邊上，菱形的邊長AB=4米，∠ABC=60°.設(shè)AE=x米(0＜x＜4)，矩形的面積為S米².

(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)學(xué)校準(zhǔn)備在矩形內(nèi)種植紅色花草，四個三角形內(nèi)種植黃色花草.已知紅色花草的價格為20元／米²，黃色花草的價格為40元／米².當(dāng)x為何值時，購買花草所需的總費用最低，并求出最低總費用(結(jié)果保留根號).

Answer 1

(1)連接AC，BD.AC與EH的交點為M.

∵花壇為軸對稱圖形，

∴EH∥BD，EF∥AC.

∴△BEF∽△BAC.

∵∠ABC=60°，∴△ABC，△BEF是等邊三角形.

∴EF=BE=AB-AE=4-x.

在Rt△AEM中，∠AEM=∠ABD=30°，

則EM=AE·cos∠AEM=x.

∴EH=2EM=x.

∴S=EH·EF=x·(4-x).

即S=-x²+4x.

(2)∵紅色花草價格比黃色花草便宜，

∴當(dāng)矩形面積最大時，購買花草的總費用最低.

又∵S=-x²+4x=-(x-2)²+4，

∴當(dāng)x=2時，S_最大=4.易得S_{四邊形ABCD}=8.

此時四個三角形的面積為8-4=4(米²).

∴最低總費用為：20×4+40×4=240(元).

答：當(dāng)x=2時，購買花草所需的總費用最低，最低總費用是240元.