Question

【題目】在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)M，AE或其延長(zhǎng)線與DC或其延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，G是EF的中點(diǎn),連結(jié)CG．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)．求證：①△ABM≌△CBM；②CG⊥CM.

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),（1）中的結(jié)論②是否成立？請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論，不用證明．

（3）試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△MCE是等腰三角形?請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析；（2）成立；（3）當(dāng)BE=戓BE=時(shí)，△MCE是等腰三角形.

【解析】試題（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)，利用邊角邊定理即可證明△ABM≌△CBM；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAM=∠BCM，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得GC=GF，根據(jù)等腰三角形和平行線的性質(zhì)得到角的等量關(guān)系得∠BCM=∠GCF，即可證得結(jié)論；（2）類(lèi)比（1）的方法即可得結(jié)論；（3）分當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)兩種情況討論求解即可.

試題解析：

(1)①證明：∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠ABM=∠CBM 又∵BM=BM,∴ΔABM≌ΔCBM.

②∵ΔABM≌ΔCBM，∴∠BAM=∠BCM 又∵∠ECF=90,G是EF的中點(diǎn)

∴GC=GF,∴∠GCF=∠F

又∵AB∥DF,∴∠BAM=∠F，∴∠BCM=∠GCF

∴∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90

∴GC⊥CM

(2)成立

(3)①當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)

∵∠MEC＞90,要使△MCE是等腰三角形,必須EM=EC,∴∠EMC=∠ECM

∴∠AEB=2∠BCM=2∠BAE，∴2∠BAE+∠BAE=90,∴∠BAE=300

∴BE=.

②當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),仿①易知BE=.

綜上①②,當(dāng)BE=戓BE=時(shí)，△MCE是等腰三角形.