【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與y軸相交于點(0,3),并經(jīng)過點(2,5),它的對稱軸是x=1,如圖為函數(shù)圖象的一部分.
(1)求函數(shù)解析式,寫出函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo);
(2)在圖中,畫出函數(shù)圖象的其余部分;
(3)如果點P(n,2n)在上述拋物線上,求n的值.
【答案】(1)y=x22x3,頂點坐標(biāo)是(1,4);(2)見解析;(3)n=±.
【解析】
(1)用待定系數(shù)法可求出函數(shù)解析式,將函數(shù)解析式化為頂點式可得頂點坐標(biāo);
(2)根據(jù)函數(shù)解析式描點畫圖即可;
(3)將點P坐標(biāo)代入解析式,求出n即可.
(1)∵二次函數(shù)的圖象與軸交于(0,3),
∴,
根據(jù)題意,得,解得,
∴二次函數(shù)的解析式為y=x22x3,
∵y=x22x3=(x1)24,
∴函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是(1,4);
(2)畫函數(shù)圖象的其余部分如圖所示.
(3)依題意得:n22n3=2n,
解得:n=±,
即n的值為±.
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【題目】將含有 30°角的直角三角板 OAB 如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中,OB 在 x軸上,若 OA=2,將三角板繞原點 O 順時針旋轉(zhuǎn) 75°,則點 A 的對應(yīng)點 A′ 的坐標(biāo)為___________.
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【題目】如圖,已知:關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A(1,0)和點B,與y軸交于點C(0,3),拋物線的對稱軸與x軸交于點D.
(1)求二次函數(shù)的表達式;
(2)在y軸上是否存在一點P,使△PBC為等腰三角形.若存在,請求出點P的坐標(biāo);
(3)有一個點M從點A出發(fā),以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動,另一個點N從點D與點M同時出發(fā),以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動,當(dāng)點M到 達點B時,點M、N同時停止運動,問點M、N運動到何處時,△MNB面積最大,試求出最大面積.
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【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的一部分,給出下列命題:①a+b+c=0;②b>2a;③ax2+bx+c=0的兩根分別為﹣3和1;④a﹣2b+c>0,其中正確的命題是( )
A. ①②③B. ①③C. ①④D. ①③④
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【題目】已知在以點O為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦AB交小圓于點C,D(如圖).
(1)求證:AC=BD;
(2)若大圓的半徑R=10,小圓的半徑r=8,且圓O到直線AB的距離為6,求AC的長.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C = 90°,∠BAC 的平分線交BC于點D,點O在AB上,以點O為圓心、OA長為半徑的圓恰好經(jīng)過點D,分別交AC,AB于點E,F.
(1)試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若OA = 2,∠B = 30°,求涂色部分的面積(結(jié)果保留和根號).
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【題目】閱讀材料,解答問題:
例:用圖象法解一元二次不等式:.
解:設(shè),則是的二次函數(shù).
拋物線開口向上.
又當(dāng)時,,解得.
由此得拋物線的大致圖象如圖所示.
觀察函數(shù)圖象可知:當(dāng)或時,.的解集是:或.
(1)觀察圖象,直接寫出一元二次不等式:的解集是 ;
(2)仿照上例,用圖象法解一元二次不等式:.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x經(jīng)過點A,作AB⊥x軸于點B,將△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBD,若點B的坐標(biāo)為(2,0),則點C的坐標(biāo)為 .
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=90° ,AB=8,AC=10.點P以每秒1個單位長度的速度從A向B運動;同時點Q以每秒2個單位的速度從C向A運動.當(dāng)其中一個點到達時,另一個點也隨即停止運動,從出發(fā)開始___秒時,△APQ與△ABC相似.
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