【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,平分,交于點,平分,交于點,與交于點,連接,.
(1)求證:四邊形是菱形;
(2)若,,,求的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】(1)先根據平行四邊形性質以及角平分線性質,可得:AF//BE,∠AEB=∠BAE,∠AFB=∠ABF.根據等腰三角形性質可得:AB=BE,AF=AB.根據“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證得四邊形ABEF是平行四邊形,再根據“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”證得平行四邊形ABEF是菱形.
(2)作PH⊥AD于H.根據角的正切值的定義得tan∠ADP= .根據菱形的性質,利用特殊角的三角函數,求得AH、PH長度,再根據HD=ADAH,即可得出tan∠ADP的值.
證明:(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC
∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF
∵AD//BC
∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF
∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF
∴AB=BE AB=AF
∴AF=AB=BE
∵AD//BC
∴ABEF為平行四邊形
又AB=BE
∴ABEF為菱形
(2)如圖所示,作PH⊥AD于H.
∵四邊形ABEF是菱形,且∠ABC=60°,
∴△ABE為等邊三角形,
∴∠FAE=60°,AE=AB=4,
則AP=AE=2
在Rt△APH中,由三角函數得:
PH=APsin60°=3 ,
AH=APcos60°=1,
∴HD=ADAH=5,
因此tan∠ADP= =
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,,設c為最長邊.當時,△ABC是直角三角形;當時,利用代數式和的大小關系,可以判斷△ABC的形狀(按角分類).
(1)請你通過畫圖探究并判斷:當△ABC三邊長分別為6,8,9時,△ABC為____三角形;當△ABC三邊長分別為6,8,11時,△ABC為______三角形.
(2)小明同學根據上述探究,有下面的猜想:“當時,△ABC為銳角三角形;當時,△ABC為鈍角三角形.”請你根據小明的猜想完成下面的問題:
當,時,最長邊c在什么范圍內取值時,△ABC是直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,O 為坐標原點,設點 P(1,m)在函數的圖象上,以 OP 為邊作正方形OPQR,若反比例函數 經過點 Q,則 k=______________.
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