【題目】數(shù)學(xué)課上,李老師出示了如下框中的題目.
在等邊三角形ABC中,點E在AB上,點D在CB的延長線上,且ED=EC,如圖.試確定線段AE與DB的大小關(guān)系,并說明理由. |
小敏與同桌小聰討論后,進行了如下解答:
(1)特殊情況,探索結(jié)論
當(dāng)點E為AB的中點時,如圖1,確定線段AE與的DB大小關(guān)系.請你直接寫出結(jié)論:
AE DB(填“>”,“<”或“=”).
圖1 圖2
(2)特例啟發(fā),解答題目
解:題目中,AE與DB的大小關(guān)系是:AE DB(填“>”,“<”或“=”).
理由如下:如圖2,過點E作EF∥BC,交AC于點F.
(請你完成以下解答過程)
(3)拓展結(jié)論,設(shè)計新題
在等邊三角形ABC中,點E在直線AB上,點D在直線BC上,且ED=EC.若△ABC的邊長為1,AE=2,求CD的長(請你直接寫出結(jié)果).
【答案】(1)=;(2)=,過程見解析;(3)CD的長是1或3.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)△ABC是等邊三角形,點E為AB的中點,即可得出CE⊥AB,進而得出∠ECB=∠D=∠DEB=30°,即可得出線段AE與DB的大小關(guān)系;
(2)首先得出BE=CF,進而得出∠EDB=∠ECB,∠BED=∠FCE,進而利用△DBE≌△EFC即可得出答案;
(3)分兩種情況進行討論,①當(dāng)E在線段BA的延長線上,D在線段BC的延長線上;②當(dāng)E在線段AB的延長線上,D在線段CB的延長線上.
試題解析:(1)∵△ABC是等邊三角形,點E為AB的中點,
∴∠ABC=60°,CE⊥AB,
∴AE=BE,
∴∠ECB=∠D=∠DEB=30°,
∴AE=DB,
故答案為:=;
(2) 在等邊△ABC中,
∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=BC=AC,
∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC,
∴AE=AF=EF,
∴AB-AE=AC-AF,
即BE=CF,
∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°,
∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°,
∵ED=EC,
∴∠EDB=∠ECB,
∵∠EBC=∠EDB+∠BED,∠ACB=∠ECB+∠FCE,
∴∠BED=∠FCE,
∴△DBE≌△EFC(SAS)
∴DB=EF,
∴AE=BD,
故答案為:=;
(3)CD的長是1或3.
參考做法如下:
當(dāng)E在線段BA的延長線上,D在線段BC的延長線上時,如圖1所示,
過E作EF⊥BD,垂足為F點,可得∠EFB=90°,
∵EC=ED,∴F為CD的中點,即CF=DF=CD,
∵△ABC為等邊三角形,∴∠ABC=60°,
∴∠BEF=30°,
∵BE=AB+AE=1+2=3,
∴FB=EB=,
∴CF=FB-BC=,
則CD=2CF=1;
當(dāng)E在線段AB的延長線上,D在線段CB的延長線上時,如圖2所示,
過E作EF⊥BD,垂足為F點,可得∠EFC=90°,
∵EC=ED,∴F為CD的中點,即CF=DF=CD,
∵△ABC為等邊三角形,∴∠ABC=∠EBF=60°,
∴∠BEF=30°,
∵BE=AE-AB=2-1=1,
∴FB=BE=,
∴CF=BC+FB=,
則CD=2CF=3,
綜上,CD的值為1或3.
圖1 圖2
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面是某同學(xué)對多項式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4進行因式分解的過程.
解:設(shè)x2-4x=y
原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)
=y2+8y+16 (第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2(第四步)
回答下列問題:
(1)該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的_______.
A.提取公因式 |
B.平方差公式 |
C.兩數(shù)和的完全平方公式 |
D.兩數(shù)差的完全平方公式 |
(2)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底?________.(填“徹底”或“不徹底”)若不徹底,請直接寫出因式分解的最后結(jié)果_________ .
(3)請你模仿以上方法嘗試對多項式(x2-2x)(x2-2x+2)+1進行因式分解.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在我市美化工程招標(biāo)時,有甲、乙兩個工程隊投標(biāo).經(jīng)測算:甲隊單獨完成這項工程需要60天;若由甲隊先做20天,剩下的工程由甲、乙合做24天可完成.
(1)乙隊單獨完成這項工程需要多少天?
(2)甲隊施工一天,需付工程款3.5萬元,乙隊施工一天需付工程款2萬元.若該工程計劃在70天內(nèi)完成,在不超過計劃天數(shù)的前提下,是由甲隊或乙隊單獨完成該工程省錢?還是由甲乙兩隊全程合作完成該工程省錢?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,∠ABC=∠ACB.
(1)尺規(guī)作圖:過頂點A,作△ABC的角平分線AD;(不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)在AD上任取一點E,連接BE、CE.求證:BE=CE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,三角形ABC(記作△ABC)在方格中,方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形,三個頂點的坐標(biāo)分別是A(﹣2,1),B(﹣3,﹣2),C(1,﹣2),先將△ABC向上平移3個單位長度,再向右平移2個單位長度,得到A1B1C1.
(1)在圖中畫出△A1B1C1;
(2)點A1,B1,C1的坐標(biāo)分別為 、 、 ;
(3)若y軸有一點P,使△PBC與△ABC面積相等,求出P點的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,剪兩張對邊平行的紙條,隨意交叉疊放在一起,轉(zhuǎn)動其中的一張,重合的部分構(gòu)成了一個四邊形,這個四邊形是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,點E,F,M,N分別為OA,OB,OC,OD的中點,連接EF,FM,MN,NE.
(1)依題意,補全圖形;
(2)求證:四邊形EFMN是矩形;
(3)連接DM,若DM⊥AC于點M,ON=3,求矩形ABCD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,矩形紙片ABCD的邊AD=3,CD=2,點P是邊CD上的一個動點(不與點C重合,把這張矩形紙片折疊,使點B落在點P的位置上,折痕交邊AD與點M,折痕交邊BC于點N .
(1)寫出圖中的全等三角形. 設(shè)CP= ,AM= ,寫出與的函數(shù)關(guān)系式;
(2)試判斷∠BMP是否可能等于90°. 如果可能,請求出此時CP的長;如果不可能,請說明理由.
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