Question

【題目】如圖，以為直徑作半圓，點(diǎn)是半圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），交于點(diǎn)，延長、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為.

（1）求證：是的切線；

（2）若的半徑為1，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的三等分點(diǎn)時(shí)，求的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）或

【解析】

（1）連接，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等、直徑所對(duì)的圓周角等于90°和等弧所對(duì)的弦相等可得：，，，從而證出≌，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求出∠ACF和∠ACO，從而求出∠OCF，即可證出結(jié)論；

（2）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AC、BC，再根據(jù)一個(gè)弧有兩個(gè)三等分點(diǎn)分類討論：情況一：當(dāng)點(diǎn)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，根據(jù)三等分點(diǎn)即可求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出CE，從而求出AE；情況二：當(dāng)點(diǎn)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，根據(jù)三等分點(diǎn)即可求出，從而求出AP，再推導(dǎo)出∠PDE=30°，設(shè)，用表示出DE、CE和AE的長，從而利用勾股定理列出方程即可求出，從而求出AE.

（1）證明：連接

∵為的直徑

∴

∴

根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得，

又∵是的中點(diǎn)

∴

∴

在與中

∴≌

∴

又∵

∴平分

∴

∵，為的中點(diǎn)

∴平分

∴

∴

∴

∴為的切線

（2）證明：如圖2

∵的半徑為1

∴

又∵，

∴

情況一：如圖2

當(dāng)點(diǎn)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)

∵點(diǎn)是的三等分點(diǎn)

∴

∴

在Rt△BCE中，

∴

情況二：如圖3

當(dāng)點(diǎn)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)

∵點(diǎn)是的三等分點(diǎn)

∴

∴

∴

又∵

∴

又∵，

∴

∴

∴

∴

設(shè)，則

∴

∴

又∵

∴

即

解出：或（應(yīng)小于，故舍去）

∴

綜上所述：或