Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC上的一點(diǎn)，且BF＝3CF，連接AE、AF、EF，下列結(jié)論：①∠DAE＝30°，②△ADE∽△ECF，③AE⊥EF，④AE2＝ADAF，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據(jù)題意可得tan∠DAE的值，進(jìn)而可判斷①；設(shè)正方形的邊長為4a，根據(jù)題意用a表示出FC，BF，CE，DE，然后根據(jù)相似三角形的判定方法即可對②進(jìn)行判斷；在②的基礎(chǔ)上利用相似三角形的性質(zhì)即得∠DAE＝∠FEC，進(jìn)一步利用正方形的性質(zhì)即可得到∠DEA+∠FEC＝90°，進(jìn)而可判斷③；利用相似三角形的性質(zhì)即可判斷④.

解：∵四邊形ABCD是正方形，E為CD中點(diǎn)，∴CE＝ED＝DC＝AD，

∴tan∠DAE＝，∴∠DAE≠30°，故①錯(cuò)誤；

設(shè)正方形的邊長為4a，則FC＝a，BF＝3a，CE＝DE＝2a，

∴，∴，又∠D＝∠C=90°，

∴△ADE∽△ECF，故②正確；

∵△ADE∽△ECF，∴∠DAE＝∠FEC，

∵∠DAE+∠DEA＝90°∴∠DEA+∠FEC＝90°，

∴AE⊥EF．故③正確；

∵△ADE∽△ECF，∴，∴AE2＝ADAF，故④正確.

綜上，正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)，故選：C.