Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．動點P從點A出發(fā)沿AC向終點C運動，同時動點Q從點B出發(fā)沿BA向點A運動，到達A點后立刻以原來的速度沿AB返回．點P，Q運動速度均為每秒1個單位長度，當點P到達點C時停止運動，點Q也同時停止．連結PQ，設運動時間為t（t＞0）秒．

（1）在點Q從B到A的運動過程中，
①當t=時，PQ⊥AC；
（2）②求△APQ的面積S關于t的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍；
（3）伴隨著P、Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線為l．
①當l經(jīng)過點A時，射線QP交AD于點E，求AE的長；
②當l經(jīng)過點B時，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）

解：如圖1所示，過點P作PH⊥AB于點H，

AP=t，AQ=3﹣t，

則∠AHP=∠ABC=90°，

∵∠PAH=∠CAB，

∴△AHP∽△ABC，

∴ ，

∵AP=t，AC=5，BC=4，

∴PH= t，

∴S= （3﹣t） t，

即S=﹣ t2+ t，t的取值范圍是：0＜t＜3．

（3）

解：①如圖2，線段PQ的垂直平分線為l經(jīng)過點A，則AP=AQ，

即3﹣t=t，

∴t=1.5，

∴AP=AQ=1.5；

延長QP交AD于點E，過點Q作QO∥AD交AC于點O，

則△AQO∽△ABC，

∴ ，

∴AO= AC= ，QO= BC=2，

∴PO=AO﹣AP=1．

∵OQ∥BC∥AD，

∴△APE∽△OPQ

∴ ，

∴AE= QO=3．

②（ⅰ）如圖3，當點Q從B向A運動時l經(jīng)過點B，

BQ=CP=AP=t，∠QBP=∠QAP

∵∠QBP+∠PBC=90°，∠QAP+∠PCB=90°

∴∠PBC=∠PCB CP=BP=AP=t

∴CP=AP= AC= ×5=2.5∴t=2.5．

（ⅱ）如圖4，當點Q從A向B運動時l經(jīng)過點B；

BP=BQ=3﹣（t﹣3）=6﹣t，AP=t，PC=5﹣t，

過點P作PG⊥CB于點G，則PG∥AB，

∴△PGC∽△ABC，

∴ ，

∴PG= AB= （5﹣t），CG= BC= （5﹣t），

∴BG=4﹣ （5﹣t）= t，

由勾股定理得：BP2=BG2+PG2，

即（6﹣t）2=（ t）2+[ （5﹣t）]2，

解得：t= ；

綜上所述：存在t的值，使得直線l經(jīng)過點B，t的值是2.5或 ．

【解析】解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴AC= = =5，
∵PQ⊥AC，
∴∠APQ=90°=∠B，
又∵∠PAQ=∠BAC，
∴△APQ∽△ABC，
∴ ，
即 ，
解得：t= ，
即t= 時，PQ⊥AC，
所以答案是： ；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．