【題目】已知:∠MON=36°,OE平分∠MON,點(diǎn)A,B分別是射線OM,OE,上的動(dòng)點(diǎn)(A,B不與點(diǎn)O重合),點(diǎn)D是線段OB上的動(dòng)點(diǎn),連接AD并延長(zhǎng)交射線ON于點(diǎn)C,設(shè)∠OAC=x,

(1)如圖1,若AB∥ON,則
①∠ABO的度數(shù)是;
②當(dāng)∠BAD=∠ABD時(shí),x=;
當(dāng)∠BAD=∠BDA時(shí),x=;
(2)如圖2,若AB⊥OM,則是否存在這樣的x的值,使得△ABD中有兩個(gè)相等的角?若存在,求出x的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)18°,126°,63°
(2)解:如圖2,存在這樣的x的值,使得△ADB中有兩個(gè)相等的角.

∵AB⊥OM,∠MON=36°,OE平分∠MON,

∴∠AOB=18°,∠ABO=72°,

①當(dāng)AC在AB左側(cè)時(shí):

若∠BAD=∠ABD=72°,則∠OAC=90°﹣72°=18°;

若∠BAD=∠BDA=(180°﹣72°)÷2=54°,則∠OAC=90°﹣54°=36°;

若∠ADB=∠ABD=72°,則∠BAD=36°,故∠OAC=90°﹣36°=54°;

②當(dāng)AC在AB右側(cè)時(shí):

∵∠ABE=108°,且三角形的內(nèi)角和為180°,

∴只有∠BAD=∠BDA=(180°﹣108°)÷2=36°,則∠OAC=90°+36°=126°.

綜上所述,當(dāng)x=18、36、54、126時(shí),△ADB中有兩個(gè)相等的角.


【解析】解:(1)如圖1,①∵∠MON=36°,OE平分∠MON,

∴∠AOB=∠BON=18°,

∵AB∥ON,

∴∠ABO=18°;②當(dāng)∠BAD=∠ABD時(shí),∠BAD=18°,

∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°,

∴∠OAC=180°﹣18°×3=126°;③當(dāng)∠BAD=∠BDA時(shí),∵∠ABO=18°,

∴∠BAD=81°,∠AOB=18°,

∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°,

∴∠OAC=180°﹣18°﹣18°﹣81°=63°,
(2)如圖2,存在這樣的x的值,使得△ADB中有兩個(gè)相等的角.

∵AB⊥OM,∠MON=36°,OE平分∠MON,

∴∠AOB=18°,∠ABO=72°,

①當(dāng)AC在AB左側(cè)時(shí):

若∠BAD=∠ABD=72°,則∠OAC=90°﹣72°=18°;

若∠BAD=∠BDA=(180°﹣72°)÷2=54°,則∠OAC=90°﹣54°=36°;

若∠ADB=∠ABD=72°,則∠BAD=36°,故∠OAC=90°﹣36°=54°;

②當(dāng)AC在AB右側(cè)時(shí):

∵∠ABE=108°,且三角形的內(nèi)角和為180°,

∴只有∠BAD=∠BDA=(180°﹣108°)÷2=36°,則∠OAC=90°+36°=126°.

綜上所述,當(dāng)x=18、36、54、126時(shí),△ADB中有兩個(gè)相等的角.

所以答案是:(1)①18°;②126°;③63°;(2)當(dāng)x=18、36、54、126時(shí),△ADB中有兩個(gè)相等的角.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的平行線的性質(zhì),需要了解兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上移動(dòng)時(shí),線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系是:
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)C在直線AB外,且∠ACB<120°,上面的結(jié)論是否還成立?若成立請(qǐng)證明,不成立說(shuō)明理由.
(3)在(2)的條件下,∠APE大小是否隨著∠ACB的大小發(fā)生變化而發(fā)生變化,若變化寫(xiě)出變化規(guī)律,若不變,請(qǐng)求出∠APE的度數(shù).

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例如:P(1,4)的“2屬派生點(diǎn)”為P′(1+2×4,2×1+4),即P′(9,6).
(1)點(diǎn)P(﹣1,6)的“2屬派生點(diǎn)”P(pán)′的坐標(biāo)為;
(2)若點(diǎn)P的“3屬派生點(diǎn)”P(pán)′的坐標(biāo)為(6,2),則點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)P在x軸的正半軸上,點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”為P′點(diǎn),且線段PP′的長(zhǎng)度為線段OP長(zhǎng)度的2倍,求k的值.

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(1)a= , c=
(2)如圖所示,在(1)的條件下,若點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB=|a﹣b|,點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC=|b﹣c|,點(diǎn)B在點(diǎn)A、C之間,且滿足BC=2AB,則b=;
(3)在(1)(2)的條件下,若點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn),其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x,當(dāng)代數(shù)式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|取得最小值時(shí),此時(shí)x= , 最小值為;
(4)在(1)(2)的條件下,若在點(diǎn)B處放一擋板,一小球甲從點(diǎn)A處以1個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng);同時(shí)另一小球乙從點(diǎn)C處以2個(gè)單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng),在碰到擋板后(忽略球的大小,可看作一點(diǎn))以原來(lái)的速度向相反的方向運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒),請(qǐng)表示出甲、乙兩小球之間的距離d(用t的代數(shù)式表示).

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(2)如果△ABC的面積為5cm2 , 求四邊形ABDE的面積.
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