Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A、B與y軸交于點C，頂點坐標為（1，﹣4）

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）該二次函數(shù)圖象上是否存在點M，使S△MAB＝S△CAB，若存在，求出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2存在，點M的坐標為（1+，3），（1﹣，3）或（2，﹣3）

【解析】

（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的頂點坐標為(1，﹣4)，可以求得a、b的值，從而可以得到該函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)(1)中求得的函數(shù)解析式可以得到點C的坐標，再根據(jù)S△MAB＝S△CAB，即可得到點M的縱坐標的絕對值等于點C的縱坐標的絕對值，從而可以求得點M的坐標．

解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的頂點坐標為(1，﹣4)，

∴，得，

∴該函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；

（2）該二次函數(shù)圖象上存在點M，使S△MAB＝S△CAB，

∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣3)(x+1)，

∴當x＝0時，y＝﹣3，當y＝0時，x＝3或x＝﹣1，

∵二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A、B與y軸交于點C，

∴點A的坐標為(﹣1,0)，點B的坐標為(3,0)，點C的坐標為(0,﹣3)，

∵S△MAB＝S△CAB，點M在拋物線上，

∴點M的縱坐標是3或﹣3，

當y＝3時，3＝x2﹣2x﹣3，得x1＝1+，x2＝1﹣；

當y＝﹣3時，﹣3＝x2﹣2x﹣3，得x3＝0或x4＝2；

∴點M的坐標為(1+,3)，(1﹣,3)或(2,﹣3)．

故答案為：（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，點M的坐標為(1+,3)，(1﹣,3)或(2,﹣3).