Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y1＝2x2+的頂點(diǎn)為M，直線y2＝x，點(diǎn)P（n，0）為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線分別交拋物線y1＝2x2+和直線y2＝x于點(diǎn)A、點(diǎn)B

（1）直接寫(xiě)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含n的代數(shù)式表示）

（2）設(shè)線段AB的長(zhǎng)為d，求d關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式及d的最小值，并直接寫(xiě)出此時(shí)線段OB與線段PM的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；

（3）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c為整數(shù)且a≠0），對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒有x≤y≤2x2+，求a，b，c的值．

Answer 1

【答案】（1）A（n，2n2+），B（n，n）；（2）d＝2（n﹣）2+，d最小值，此時(shí)線段OB與線段PM的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是OB⊥PM且OB＝PM；（3）a＝1，b＝1，c＝0．

【解析】

(1)由題意不難看出：點(diǎn)P、A、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，將點(diǎn)P橫坐標(biāo)代入函數(shù)y1、y2的解析式中即可確定A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

(2)首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，可看出拋物線y1的圖象始終在直線y2的上方，那么線段AB的長(zhǎng)可由點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)差求得，據(jù)此求出關(guān)于d、n的函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)先確定出符合題意的n、d值，即可確定點(diǎn)B、P的坐標(biāo)，點(diǎn)M的坐標(biāo)易得，根據(jù)這四點(diǎn)坐標(biāo)即可確定線段OB、PM的位置和數(shù)量關(guān)系．

(3)首先將函數(shù)解析式代入不等式中，再根據(jù)利用函數(shù)圖象解不等式的方法來(lái)求出待定系數(shù)的取值范圍，最后根據(jù)a、b、c都是整數(shù)確定它們的值．

(1)當(dāng)時(shí)，；

∴．

(2)．

∴．

∴當(dāng)時(shí)，d取得最小值．

此時(shí)，B(，)，而M(0，)、P(，0)，

∴四邊形OMBP是正方形，

∴當(dāng)d取最小值時(shí)，線段OB與線段PM的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是OB⊥PM且OB=PM．(如圖)

(3)∵對(duì)一切實(shí)數(shù)恒有，

∴對(duì)一切實(shí)數(shù)，都成立①

當(dāng)時(shí)，①式化為．

∴整數(shù)c的值為0．

此時(shí)，對(duì)一切實(shí)數(shù)，都成立

即 對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立．

由②得 對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立．

∴．

由⑤得整數(shù)的值為1．

此時(shí)由③式得，對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立

即對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立

當(dāng)時(shí)，此不等式化為，不滿足對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立．

當(dāng)時(shí)，∵對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，(a≠0)

∴

∴由④，⑥，⑦得．

∴整數(shù)的值為1．

∴整數(shù)的值分別為．