Question

【題目】如圖，四邊形OABC為矩形，以點O為原點建立直角坐標系，點C在x軸的正半軸上，點A在y軸的正半軸上，反比例函數y=圖象經過AB的中點D（1，3），且與BC交于點E，設直線DE的解析式為y=mx+n．

（1）求k的值和點E的坐標；

（2）直接寫出不等式-n＞mx的解集；

（3）點Q為x軸上一點，點P為反比例函數y=圖象上一點，是否存在點P、Q，使得以P、Q、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）k= 3，E（2，）；（2）0＜x＜1或x＞2；（3）存在；使得以P、Q、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形的P點的坐標為（-2，-）或（，）．

【解析】

（1）將D的坐標，代入反比例函數的解析式可求得k的值，然后求得點E的縱坐標，然后將點E的橫坐標代入反比例函數的解析式可求得點E的縱坐標；

（2）不等式-n＞mx的解集為反比例函數圖象位于直線上方部分自變量x的取值范圍；

（3）分為ED為平行四邊形的一邊和DE為平行四邊形的對角線兩種情況列方程求解即可．

解：（1）k=xy=1×3=3，

∴反比例函數的解析式為y=．

∵D是AB的中點，D（1，3），

∴E點的橫坐標為2．

∴yE=．

∴E（2，）．

（2）∵不等式-n＞mx的解集為反比例函數圖象位于直線上方部分自變量x的取值范圍，

∴不等式的解集為0＜x＜1或x＞2．

（3）存在；

∵D（1，3），E（2，），以P、Q、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，

當DE是平行四邊形的邊時，則PQ∥DE，且PQ=DE，

∴Q的縱坐標為0，

∴P的縱坐標為±，

令y=，則=，解得x=2（舍去），

令y=-，則-=，解得x=-2，

∴P點的坐標為（-2，-）；

當DE是平行四邊形的對角線時，

∵D（1，3），E（2，），

∴DE的中點為（，），

設P（a，）、Q（x，0），

∴÷2=，=，解得：a=，x=．

∴P（，），

故使得以P、Q、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形的P點的坐標為（-2，-）或（，）．