Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=

1

18

x²-

4

9

x-10與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線BC，交拋物線于點(diǎn)C，連接AC．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從O，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒4個(gè)單位的速度沿OA向終點(diǎn)A移動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，線段OC，PQ相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥OA，交CA于點(diǎn)E，射線QE交x軸于點(diǎn)F．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q移動(dòng)的時(shí)間為t（單位：秒）．
（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCA為平行四邊形？請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程；
（3）當(dāng)0＜t＜

9

2

時(shí)，△PQF的面積是否總為定值？若是，求出此定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△PQF為等腰三角形？請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程．

Answer 1

（1）y=

1

18

（x²-8x-180），
令y=0，得x²-8x-180=0，
即（x-18）（x+10）=0，
∴x=18或x=-10．
∴A（18，0）
在y=

1

18

x²-

4

9

x-10中，令x=0得y=-10，
即B（0，-10）．
由于BC∥OA，
故點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為-10，
由-10=

1

18

x²-

4

9

x-10得，
x=8或x=0，
即C（8，-10）且易求出頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-

98

9

），
于是，A（18，0），B（0，-10），C（8，-10），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-

98

9

）；

（2）若四邊形PQCA為平行四邊形，由于QC∥PA．
故只要QC=PA即可，
而PA=18-4t，CQ=t，
故18-4t=t得t=

18

5

；

（3）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒，則OP=4t，CQ=t，0＜t＜4.5，
說(shuō)明P在線段OA上，且不與點(diǎn)OA、重合，
由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，故

QD

DP

=

QC

OP

=

t

4t

=

1

4

∵△AEF∽△CEQ，
∴AF：CQ=AE：EC=DP：QD=4：1，
∴AF=4t=OP
∴PF=PA+AF=PA+OP=18
又∵點(diǎn)Q到直線PF的距離d=10，
∴S_△PQF=

1

2

PF•d=

1

2

×18×10=90，
于是△PQF的面積總為90；

（4）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒，則P（4t，0），F(xiàn)（18+4t，0），Q（8-t，-10）t∈（0，4.5）．
∴PQ²=（4t-8+t）²+10²=（5t-8）²+100
FQ²=（18+4t-8+t）²+10²=（5t+10）²+100．
①若FP=FQ，則18²=（5t+10）²+100．
即25（t+2）²=224，（t+2）²=

224

25

．
∵0≤t≤4.5，
∴2≤t+2≤6.5，
∴t+2=

224 25

=

4 14

5

．
∴t=

4 14

5

-2，
②若QP=QF，則（5t-8）²+100=（5t+10）²+100．
即（5t-8）²=（5t+10）²，無(wú)0≤t≤4.5的t滿(mǎn)足．
③若PQ=PF，則（5t-8）²+100=18²．
即（5t-8）²=224，由于

224

≈15，又0≤5t≤22.5，
∴-8≤5t-8≤14.5，而14.5²=（

29

2

）²=

841

4

＜224．
故無(wú)0≤t≤4.5的t滿(mǎn)足此方程．
注：也可解出t=

8-4 14

5

＜0或t=

8+4 14

5

＞4.5均不合題意，
故無(wú)0≤t≤4.5的t滿(mǎn)足此方程．
綜上所述，當(dāng)t=

4 14

5

-2時(shí)，△PQF為等腰三角形．