Question

如下4個圖中，不同的矩形ABCD，若把D點沿AE對折，使D點與BC上的F點重合；
（1）圖①中，若DE：EC=2：1，求證：△ABF∽△AFE∽△FCE；并計算BF：FC．
（2）圖②中若DE：EC=3：1，計算BF：FC=

1：2

；圖③中若DE：EC=4：1，計算BF：FC=

1：3

．
（3）圖④中若DE：EC=n：1，猜想BF：FC=

1：（n-1）

；并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由矩形ABCD，DE：EC=2：1，把D點沿AE對折，使D點與BC上的F點重合；易求得∠BAF=∠FAE=∠CFE=30°，∠B=∠C=∠AFE=90°，即可證得：△ABF∽△AFE∽△FCE；首先設(shè)CE=x，則EF=DE=2x，CD=DE+CE=3x，由勾股定理即可求得FC的長，又由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可求得BF的長，繼而求得答案；
（2）首先設(shè)CE=x，由DE：EC=3：1，可得EF=DE=3x，CD=DE+CE=4x，由勾股定理即可求得FC的長，又由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可求得BF的長，繼而求得答案；
首先設(shè)CE=x，由DE：EC=4：1，可得EF=DE=4x，CD=DE+CE=5x，由勾股定理即可求得FC的長，又由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可求得BF的長，繼而求得答案；
（3）首先設(shè)CE=x，由DE：EC=n：1，可得EF=DE=nx，CD=DE+CE=（n+1）x，由勾股定理即可求得FC的長，又由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可求得BF的長，繼而求得答案．

解答：（1）證明：如圖①，∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
由折疊的性質(zhì)可得：FE=DE，∠AFE=∠D=90°，∠DAE=∠FAE，
∵DE：EC=2：1，
∴EF=2EC，
∴∠EFC=30°，
∴∠EFB=60°，
∴∠BAF=30°，
∴∠FAE=∠EAD=30°，
∴∠BAF=∠FAE=∠CFE=30°，
∵∠B=∠C=∠AFE=90°，
∴△ABF∽△AFE∽△FCE；
設(shè)CE=x，則EF=DE=2x，CD=DE+CE=3x，
∴FC=

EF2-CE2

=

3

x，
∵AB=CD=3x，△ABF∽△FCE，
∴

AB

FC

=

BF

EC

，
∴

3x

3 x

=

BF

x

，
解得：BF=

3

x，
∴BF：FC=1：1；

（2）解：如圖②，設(shè)CE=x，
∵DE：EC=3：1，
∴EF=DE=3x，CD=DE+CE=4x，
∴FC=

EF2-CE2

=2

2

x，
∵AB=CD=4x，△ABF∽△FCE，
∴

AB

FC

=

BF

EC

，
∴

4x

2 2 x

=

BF

x

，
解得：BF=

2

x，
∴BF：FC=1：2；
如圖③，設(shè)CE=x，
∵DE：EC=4：1，
∴EF=DE=4x，CD=DE+CE=5x，
∴FC=

EF2-CE2

=

15

x，
∵AB=CD=5x，△ABF∽△FCE，
∴

AB

FC

=

BF

EC

，
∴

5x

15 x

=

BF

x

，
解得：BF=

15

3

x，
∴BF：FC=1：3；
故答案為：1：2，1：3；

（3）證明：如圖④，設(shè)CE=x，
∵DE：EC=n：1，
∴EF=DE=nx，CD=DE+CE=（n+1）x，
∴FC=

EF2-CE2

=

n2-1

x，
∵AB=CD=（n+1）x，△ABF∽△FCE，
∴

AB

FC

=

BF

EC

，
∴

(n+1)x

n2-1 x

=

BF

x

，
解得：BF=

n2-1

n-1

x，
∴BF：FC=1：（n-1）；
故答案為：1：（n-1）．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．