Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，P是AD上的點(diǎn)，且∠PNB=3∠CBN．

（1）求證：∠PNM=2∠CBN；

（2）求線段AP的長(zhǎng)．

Answer 1

       （1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根據(jù)角的和差不難得出結(jié)論；

（2）連接AN，根據(jù)矩形的軸對(duì)稱性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根據(jù)等角對(duì)等邊得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．

解答：    解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，

∴MN∥BC，

∴∠CBN=∠MNB，

∵∠PNB=3∠CBN，

∴∠PNM=2∠CBN；

（2）連接AN，

根據(jù)矩形的軸對(duì)稱性，可知∠PAN=∠CBN，

∵M(jìn)N∥AD，

∴∠PAN=∠ANM，

由（1）知∠PNM=2∠CBN，

∴∠PAN=∠PNA，

∴AP=PN，

∵AB=CD=4，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，

∴DN=2，

設(shè)AP=x，則PD=6﹣x，

在Rt△PDN中

PD²+DN²=PN²，

∴（6﹣x）²+2²=x²，

解得：x=

所以AP=．