Question

【題目】如圖，已知一次函數(shù)y=x+m的圖象與x軸交于點A（﹣4，0），與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交于y軸上一點B，該二次函數(shù)的頂點C在x軸上，且OC=2．

（1）求點B坐標；

（2）求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式；

（3）設一次函數(shù)y=x+m的圖象與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的另一交點為D，已知P為x軸上的一個動點，且△PBD是以BD為直角邊的直角三角形，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）B（0，2）；（2）y=0.5x2﹣2x+2；（3）P1（1，0）和P2（7.25，0）；

【解析】

（1）根據(jù)y=0.5x+m交x軸于點A，進而得出m的值，再利用與y軸交于點B，即可得出B點坐標；（2）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸只有唯一的交點C，且OC=2．得出可設二次函數(shù)y=ax2+bx+c=a（x﹣2）2，進而求出即可；（3）根據(jù)當B為直角頂點，當D為直角頂點時，分別利用三角形相似對應邊成比例求出即可．

（1）∵y=x+2交x軸于點A（﹣4，0），

∴0=×（﹣4）+m，

∴m=2，

與y軸交于點B，

∵x=0，

∴y=2

∴B點坐標為：（0，2），

（2）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸只有唯一的交點C，且OC=2

∴可設二次函數(shù)y=a（x﹣2）2

把B（0，2）代入得：a=0.5

∴二次函數(shù)的解析式：y=0.5x2﹣2x+2；

（3）（Ⅰ）當B為直角頂點時，過B作BP1⊥AD交x軸于P1點

由Rt△AOB∽Rt△BOP1

∴，

∴，

得：OP1=1，

∴P1（1，0），

（Ⅱ）作P2D⊥BD，連接BP2，

將y=0.5x+2與y=0.5x2﹣2x+2聯(lián)立求出兩函數(shù)交點坐標：

D點坐標為：（5，4.5），

則AD=，

當D為直角頂點時

∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2，

∴△ABO∽△AP2D，

∴， ，

解得：AP2=11.25，

則OP2=11.25﹣4=7.25，

故P2點坐標為（7.25，0）；

∴點P的坐標為：P1（1，0）和P2（7.25，0）．