Question

10．如圖，拋物線y=a（x-1）²+c經(jīng)過點(diǎn)A（m，0）、B（3，-3）點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)O，C為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式及m的值；
（2）若點(diǎn)D為拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E為對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P是拋物線第三象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B、O三點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式及m的值；
（2）分OA為邊和對(duì)角線兩種情況，①當(dāng)OA為邊時(shí)，根據(jù)E在x=1上，能求出D的橫坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出D的坐標(biāo)即可；②OA為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，求出D和C重合，進(jìn)一步求出E的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P（x，y），由題意知x＜0，y＜0且y=-x²+2x，可得P（x，-x²+2x），根據(jù)勾股定理的逆定理求出直角三角形BOC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出比例式，代入求出即可．

解答 解：
（1）∵拋物線過原點(diǎn)O、B（3，-3）和A（m，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a+c}\\{0=a（m-1）^{2}+c}\\{-3=4a+c}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=1}\\{m=0}\end{array}\right.$（此時(shí)A點(diǎn)與O重合，舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=1}\\{m=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-（x-1）²+1=-x²+2x，m的值為2；

（2）如圖1，

①當(dāng)AO為邊時(shí)，
∵以A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
∴DE∥AO，且DE=AO=2．
∵點(diǎn)E在對(duì)稱軸x=1上，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-1或3．
即符合條件的點(diǎn)D有兩個(gè)，分別記為D₁，D₂．
而當(dāng)x=-1時(shí)，y=-3當(dāng)x=3時(shí)，y=-3
則D₁（-1，-3），D₂（3，-3），
②當(dāng)AO為對(duì)角線時(shí)，則DE與AO互相平分．
又點(diǎn)E在對(duì)稱軸上，且線段AO的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，
由對(duì)稱性知，符合條件的點(diǎn)D只有一個(gè)，即頂點(diǎn)C（1，1），
綜上可知符合條件的點(diǎn)D共有三個(gè)，分別為（-1，-3），（3，-3），（1，1）；

（3）存在，如圖2，

∵B（3，-3），C（1，1）根據(jù)勾股定理得：
BO=3$\sqrt{2}$，CO=$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{5}$．
∴BO²+CO²=18+2=20=BC²．
∴△BOC是以∠BOC為直角的直角三角形．
假設(shè)存在點(diǎn)P，使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與Rt△BOC相似．
設(shè)P（x，y），由題意知x＜0，y＜0且y=-x²+2x，即PM=x²-2x，
①若△AMP∽△BOC，
則$\frac{AM}{BO}$=$\frac{PM}{OC}$，即$\frac{2-x}{3\sqrt{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2x}{\sqrt{2}}$，整理可得3x²-5x-2=0，解得x=-$\frac{1}{3}$或x=2（舍去），
當(dāng)x=-$\frac{1}{3}$時(shí)，y=-x²+2x=-$\frac{7}{9}$，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{7}{9}$）；
②若△PMA∽△BOC，
則$\frac{AM}{OC}$=$\frac{PM}{OB}$，即$\frac{2-x}{\sqrt{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2x}{3\sqrt{2}}$，整理可得x²+x-6=0，解得x=-3或x=2（舍去）
當(dāng)x=-3時(shí)，y=-15，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-15）．
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{7}{9}$）或（-3，-15）．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中確定出點(diǎn)D的位置是解題的關(guān)鍵，在（3）中設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，由相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．