Question

（1）如圖（1），△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、BC上的點，且BD=CE，連接AE、CD相交于點P．請你補全圖形，并直接寫出∠APD的度數；______
（2）如圖（2），Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分別是AB、BC上的點，且AM=BC，BM=CN，連接AN、CM相交于點P．請你猜想∠APM=______°，并寫出你的推理過程．

Answer 1

（1）解：
∵△ABC是等邊三角形，
∴△B=∠ACE=60°，AC=BC，
在△AEC和△CDB中，
，
∴△ACE≌△CDB（ASA），
∴∠BCD=∠CAE，
∴∠APD=∠CAE+∠ACD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，
故答案為：60°．

（2）解：過A作AK⊥AB的垂線，在其上截取AK=CN=MB，連KM，KC，
則∠KAM=∠MBC=90°，
∵在△KAM和△MBC中

∴△KAM≌△MBC（SAS），
∴KM=CM，∠AMK=∠MCB，
∵∠CMB+∠MCB=90°，
∴∠CMB+∠AMK=90°
∴∠KMC=90°，
∴△KMC為等腰直角三角形，
∴∠MCK=45°，
又∵∠KAM=∠B=90°，AK=CN，
∴AK∥CN，
∴四邊形ANCK是平行四邊形，
∴KC∥AN，
∴∠APM=∠KCM=45°，
故答案為：45．
分析：（1）根據等邊三角形性質得出∠B=∠ACE=60°，AC=BC，證△ACE≌△CDB，推出∠BCD=∠CAE，根據三角形外角性質求出即可；
（2）過A作AK⊥AB的垂線，在其上截取AK=CN=MB，連KM，KC，證△KAM≌△MBC，推出KM=MC，求出∠KMC=90°，推出四邊形AKCN是平行四邊形，推出KC∥AN，根據平行線性質求出即可．
點評：本題考查了全等三角形性質和判定，平行線性質，平行四邊形的性質和判定，等腰直角三角形性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力，有一定的難度．