精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

【題目】如圖,已知以E(3,0)為圓心,5為半徑的☉Ex軸交于A,B兩點,與y軸交于C點,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經過A,B,C三點,頂點為F.

(1)A,B,C三點的坐標;

(2)求拋物線的解析式及頂點F的坐標;

(3)已知M為拋物線上的一動點(不與C點重合),試探究:①若以A,B,M為頂點的三角形面積與ABC的面積相等,求所有符合條件的點M的坐標;

②若探究①中的M點位于第四象限,連接M點與拋物線頂點F,試判斷直線MF與☉E的位置關系,并說明理由.

【答案】(1)A(-2,0),B(8,0),C(0,-4);(2)拋物線的解析式為y=x2-x-4,F;(3)①所點M的坐標為(6,-4),(+3,4),(-+3,4);②若M點位于第四象限,則M點即為M1點,此時直線MF和☉E相切,理由見解析.

【解析】分析:(1)由題意可直接得到點A、B的坐標,連接CE,在RtOCE中,利用勾股定理求出OC的長,則得到點C的坐標;
(2)已知點A、B、C的坐標,利用交點式與待定系數法求出拋物線的解析式,由解析式得到頂點F的坐標;
(3)①△ABC中,底邊AB上的高OC=4,若ABCABM面積相等,則拋物線上的點M須滿足條件:|yM|=4.因此解方程yM=4yM=-4,可求得點M的坐標;
②如解答圖,作輔助線,可求得EM=5,因此點M E上;再利用勾股定理求出MF的長度,則利用勾股定理的逆定理可判定EMF為直角三角形,∠EMF=90°,所以直線MF E相切.

詳解(1)由題圖可得點A的橫坐標為3-5=-2,點B的橫坐標為3+5=8,

連接CE,則CE=5,又OE=3,

OC==4,

A(-2,0),B(8,0),C(0,-4).

(2)(-2,0),(8,0),(0,-4)代入y=ax2+bx+c,得.

解得

∴拋物線的解析式為y=x2-x-4.

EFy軸,∴點F的橫坐標為3.

x=3代入y=x2-x-4,得y=-,

F.

(3)①如圖所示,連接AC,BM1,BC,

易知=SABCABM1ABC同底等高,

C與點M1關于直線x=3對稱,

M1(6,-4).

y=4代入y=x2-x-4,得x2-x-4=4,

解得x1=+3,x2=-+3,

M2(+3,4),M3(-+3,4).

∴所有符合條件的點M的坐標為(6,-4),(+3,4),(-+3,4).

②若M點位于第四象限,則M點即為M1點,此時直線MF和☉E相切.

理由如下:M1(6,-4),圓心E(3,0),點F,

連接M1E.

利用勾股定理得M1E=5,M1F=,又EF=,

M1E2+M1F2=EF2,即∠FM1E=90°,

M1EM1F.

M1E是☉E的半徑,

∴直線M1F和☉E相切,

即當M點位于第四象限時,直線MF與☉E相切.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】2014年全國兩會民生話題成為社會焦點合肥市記者為了了解百姓“兩會民生話題”的聚焦點,隨機調查了合肥市部分市民,并對調查結果進行整理繪制了如圖所示的不完整的統(tǒng)計圖表

組別

焦點話題

頻數(人數)

A

食品安全

80

B

教育醫(yī)療

m

C

就業(yè)養(yǎng)老

n

D

生態(tài)環(huán)保

120

E

其他

60

請根據圖表中提供的信息解答下列問題:

(1)填空:m= ,n= 扇形統(tǒng)計圖中E組所占的百分比為 %;

(2)合肥市人口現有750萬人,請你估計其中關注D組話題的市民人數;

(3)若在這次接受調查的市民中,隨機抽查一人,則此人關注C組話題的概率是多少?

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】在一次消防演習中,消防員架起一架25米長的云梯,如圖斜靠在一面墻上,梯子底端離墻7米.

1)求這個梯子的頂端距地面有多高?

2)如果消防員接到命令,要求梯子的頂端下降4米(云梯長度不變),那么云梯的底部在水平方向應滑動多少米?

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與直線y=x﹣1交于A、B兩點.點A的橫坐標為﹣3,點B在y軸上,點P是y軸左側拋物線上的一動點,橫坐標為m,過點P作PC⊥x軸于C,交直線AB于D.

(1)求拋物線的解析式;

(2)當m為何值時,S四邊形OBDC=2SBPD;

(3)是否存在點P,使△PAD是直角三角形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】根據給出的數軸及已知條件,解答下面的問題:

1)已知點AB,C表示的數分別為1,-3.觀察數軸,與點A的距離為3的點表示的數是 ,A,B兩點之間的距離為

2)數軸上,點B關于點A的對稱點表示的數是

3)若將數軸折疊,使得A點與C點重合,則與B點重合的點表示的數是 ;若此數軸上M,N兩點之間的距離為2019MN的左側),且當A點與C點重合時,M點與N點也恰好重合,則點M表示的數是 ,點N表示的數是 。

4)若數軸上P,Q兩點間的距離為aPQ的左側),表示數b的點到P,Q的兩點的距離相等,將數軸折疊,當P點與Q點重合時,點P表示的數是 ,點Q表示的數是 (用含ab的式子表示這兩個數)。

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】在一次禁毒宣傳活動中,某執(zhí)勤小組乘車沿東西向公路進行安全維護,如果約定向東為正,向西為負,行駛記錄如下(單位:米):+18-9,+7,-14,-3+13,-8-6,+15+6

1)執(zhí)勤過程中,最遠處離出發(fā)點有多遠?

2)若汽車行駛每千米耗油量為升,求這次執(zhí)勤的汽車共耗油多少升?

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】我市某中學計劃購進若干個甲種規(guī)格的排球和乙種規(guī)格的足球. 如果購買20個甲種規(guī)格的排球和15個乙種規(guī)格的足球,一共需要花費2050元;如果購買10個甲種規(guī)格的排球和20個乙種規(guī)格的足球,一共需要花費1900元。

1)求每個甲種規(guī)格的排球和每個已匯總規(guī)格的足球的價格分別是多少元?

2)如果學校要購買甲種規(guī)格的排球和乙種規(guī)格的足球共50個,并且預算總費用不超過3080元,那么該學校至多能購買多少個乙種規(guī)格的足球?

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】市園林處為了對一段公路進行綠化,計劃購買,兩種風景樹共900棵.,兩種樹的相關信息如下表:

品種 項目

單價(元棵)

成活率

80

100

若購買種樹棵,購樹所需的總費用為元.

1)求之間的函數關系式;

2)若購樹的總費用不超過82 000元,則購種樹不少于多少棵?

3)若希望這批樹的成活率不低于,且使購樹的總費用最低,應選購,兩種樹各多少棵?此時最低費用為多少?

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】甲乙兩地相距400千米,一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)駛向乙地,如圖,線段OA表示貨車離甲地的路程y(千米)與所用時間x(小時)之間的函數關系,折線BCD表示轎車離甲地的路程y(千米)與x(小時)之間的函數關系,根據圖象解答下列問題:

1)求線段CD對應的函數表達式;

2)求E點的坐標,并解釋E點的實際意義;

3)若已知轎車比貨車晚出發(fā)2分鐘,且到達乙地后在原地等待貨車,則當x= 小時,貨車和轎車相距30千米.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案