Question

如圖，在直角坐標系中，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=

10

，AB=4，CD=2．拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C三點．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）點E是x軸上一點，且以E、A、D、C為頂點的四邊形是平行四邊形．若過B點的直線把這個四邊形的面積分成相等的兩部分，求該直線的函數(shù)表達式；
（3）P是拋物線對稱軸上一點，連接PC、PA，是否存在△PAC是直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰梯形的性質以及AB、CD的線段長，先求出OB以及A、B點的坐標；在Rt△OBC中，BC、OB長已知，由勾股定理可求出OC的長，即可得到點C的坐標；在明確A、B、C三點坐標后，利用待定系數(shù)法即可求出該拋物線的解析式．
（2）由于點E在x軸上，若“以E、A、D、C為頂點的四邊形是平行四邊形”，那么要分兩種情況考慮：
①EC

∥

.

AD，此時AC為平行四邊形的對角線；②AC

∥

.

ED，此時EC為平行四邊形的對角線．
若過B的直線將平行四邊形分成面積相等的兩部分，那么該直線必過平行四邊形對角線的交點，因此取對角線AC或EC的中點，結合B點坐標，即可求出經(jīng)過這兩點的直線的解析式．
（3）若△PAC是直角三角形，那么需要分三種情況考慮：①C為直角頂點、AC作直角邊；②A為直角頂點、AC作直角邊；③AC為斜邊，以P作直角頂點．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴OB=

1

2

（AB-CD）=

1

2

×（4-2）=1，則 B（-1，0）；
∴OA=AB-OB=3，即 A（3，0）．
在Rt△OBC中，OC=

BC2-OB2

=

10-1

=3，則 C（0，3）；
設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-3），代入C點坐標，得：
a（0+1）（0-3）=3，a=-1
∴拋物線的解析式：y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3．

（2）若以E、A、D、C為頂點的四邊形是平行四邊形，分兩種情況：
①當EC

∥

.

AD時，CD=AE=2，OE=OA-AE=1，則E（1，0），如圖（2）-①；
取平行四邊形的對角線交點F，則F（1.5，1.5）；
設直線BF的解析式為：y=kx+b，則：

1.5k+b=1.5 -k+b=0

，解得

k= 3 5 b= 3 5

∴該直線的函數(shù)表達式：y=

3

5

x+

3

5

；
②當AC

∥

.

DE，CD=AE=2，OE=OA+AE=5，則E（5，0），如圖（2）-②；
取EC的中點G（2.5，1.5），同①可求得直線BG：y=

3

7

x+

3

7

；
綜上，符合條件的直線有兩條，且函數(shù)表達式為：y=

3

7

x+

3

7

或y=

3

5

x+

3

5

．

（3）假設存在符合條件的P點，分三種情況：
①以點A為直角頂點，AC、AP₁為直角邊，如右圖；
∵OA=OC=3，
∴△OAC是等腰直角三角形，即∠OAC=45°；
∴∠MAP₁=45°，即△MAP₁也為等腰直角三角形，且MA=MP₁=2；
∴P₁（1，-2）；
②以C為直角頂點，AC、CP₂為直角邊，如右圖；
同①可求得△CP₂N、△CHN、△CP₂H都是等腰直角三角形，
∴P₂H=HN=CH=1，則P₂M=3+1=4，即P₂（1，4）．
③以AC為斜邊，AP₃、CP₃為直角邊，如右圖；
設點P₃（1，m），則：
AP₃²=（1-3）²+（m-0）²=m²+4、CP₃²=（1-0）²+（m-3）²=m²-6m+10、AC²=18；
由勾股定理得：AP₃²+CP₃²=AC²，即：
m²+4+m²-6m+10=18，化簡，得：m²-3m-2=0
解得：m=

3± 17

2

∴P₃（1，

3± 17

2

）
綜上，存在符合條件的P點，且坐標為：P（1，-2），（1，4），（1，

3+ 17

2

），（1，

3- 17

2

）．

點評：該題考查的內(nèi)容較為復雜，涉及了函數(shù)解析式的確定、平行四邊形的性質、圖形面積的解法、直角三角形的判定、勾股定理的應用等重點知識；后兩個小題需要考慮的情況較多，需要牢固掌握相關的基礎知識，在解題過程中，要注意數(shù)形結合和分類討論的數(shù)學思想．