【題目】如圖,已知拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點C,該拋物線頂點為D,對稱軸交x軸于點H.
(1)求A,B兩點的坐標;
(2)設點P在x軸下方的拋物線上,當∠ABP=∠CDB時,求出點P的坐標;
(3)以OB為邊最第四象限內作等邊△OBM.設點E為x軸的正半軸上一動點(OE>OH),連接ME,把線段ME繞點M順時針旋轉60°得MF,求線段DF的長的最小值.
【答案】(1)A(﹣1,0),B(3,0);(2)P(2,﹣3);(3)線段DF的長的最小值存在,最小值是2+.
【解析】
試題分析:(1)令y=0,求得關于x的方程x2﹣2x﹣3=0的解即為點A、B的橫坐標;
(2)設P(x,x2﹣2x﹣3),根據拋物線解析式求得點D的坐標為D(1,﹣4);結合坐標與圖形的性質求得線段CD=,CB=3,BD=2;所以根據勾股定理的逆定理推知∠BCD=90°,則易推知相似三角形△BCD∽△PNB,由該相似三角形的對應邊成比例來求x的值,易得點P的坐標;
(3)正確做出等邊△OBM和線段ME所對應的旋轉線段MF,如圖2.過點B,F作直線交對稱軸于點G.構建全等三角形:△EOM≌△FBM,由該全等三角形的性質和圖形中相關角間的和差關系得到:
∠OBF=120°為定值,即BF所在直線為定直線.過D點作DK⊥BF,K為垂足線段DF的長的最小值即為DK的長度.
解:(1)令y=0,得x2﹣2x﹣3=0,
解得x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0)
(2)設P(x,x2﹣2x﹣3),
如圖1,過點P作PN⊥x軸,垂足為N.
連接BP,設∠NBP=∠CDB.
令x=0,得y=x2﹣2x﹣3=﹣3,
∴C(0,﹣3)
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴D(1,﹣4).
由勾股定理,得CD=,CB=3,BD=2.
∴BD2=BC2+CD2,
∴∠BCD=90°.
∵∠BCD=∠PNB=90°,∠NBP=∠CDB.
∴△BCD∽△PNB.
∴=,
=,即x2﹣5x+6=0,
解得x1=2,x2=3(不合題意,舍去).
∴當x=2時,y=﹣3
∴P(2,﹣3);
(3)正確做出等邊△OBM和線段ME所對應的旋轉線段MF,如圖2.
過點B,F作直線交對稱軸于點G.
由題意可得:
,
∴△EOM≌△FBM,
∴∠MBF=∠MOB=60°.
∵∠OBF=∠OBM+∠MBF=60°+60°=120°為定值,
∴BF所在直線為定直線.
過D點作DK⊥BF,K為垂足.
在Rt△BGH中,∠HBG=180°﹣120°=60°,
∴∠HGB=30°.
∵HB=3,
∴BG=4,HG=2.
∵D(1,﹣4),
∴DH=4,
∴DG=2+4.
在Rt△DGK中,∠DGK=30°.
∴DK=DG=2+.
∵當點E與點H重合時,這時BF=OH=1,
則GF=4+1=5.
而GK=DK=3+2>5,即點K在點F運動的路徑上,
所以線段DF的長的最小值存在,最小值是2+.
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【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+3x+4與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,點D在拋物線上且橫坐標為3.
(1)求A、B、C、D的坐標;
(2)求∠BCD的度數;
(3)求tan∠DBC的值.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=1,AC=.
(1)以點B為旋轉中心,將△ABC沿逆時針方向旋轉90°得到△A′BC′,請畫出變換后的圖形;
(2)求點A和點A′之間的距離.
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【題目】已知二次函數y1=x2+2x+m﹣5.
(1)如果該二次函數的圖象與x軸有兩個交點,求m的取值范圍;
(2)如果該二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,且點B的坐標為(1,0),求它的表達式和點C的坐標;
(3)如果一次函數y2=px+q的圖象經過點A、C,請根據圖象直接寫出y2<y1時,x的取值范圍.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,動點P以每秒一個單位的速度從點A出發(fā),沿對角線AC向點C移動,同時動點Q以相同的速度從點C出發(fā),沿邊CB向點B移動.設P,Q兩點移動時間為t秒(0≤t≤4).
(1)用含t的代數式表示線段PC的長是 ;
(2)當△PCQ為等腰三角形時,求t的值;
(3)以BQ為直徑的圓交PQ于點M,當M為PQ的中點時,求t的值.
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【題目】下列各式從左邊到右邊的變形是因式分解的是( )
A、(a+1)(a-1)=a2-1
B、a2-6a+9=(a-3)2
C、x2+2x+1=x(x+2)+1
D、-18x4y3=-6x2y2·3x2y
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,動點P以每秒一個單位的速度從點A出發(fā),沿對角線AC向點C移動,同時動點Q以相同的速度從點C出發(fā),沿邊CB向點B移動.設P,Q兩點移動時間為t秒(0≤t≤4).
(1)用含t的代數式表示線段PC的長是 ;
(2)當△PCQ為等腰三角形時,求t的值;
(3)以BQ為直徑的圓交PQ于點M,當M為PQ的中點時,求t的值.
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【題目】如圖1所示,四邊形AEFG與四邊形ABCD是正方形,其中G、A、B三點在同一直線上.連接DG、BE.完成下面問題:
(1)求證:BE=DG;
(2)如圖2,將正方形AEFG繞點A逆時針轉過一定角度時,小明發(fā)現:BE=DG且BE⊥DG,請你幫助小明證明這兩個結論;
(3)如圖3,小明還發(fā)現:在旋轉過程中,分別連接EG、GB、BD、DE的中點,得到的四邊形MNPQ是正方形.若AB=a,AE=b其中a>b,你能幫小明求出正方形MNPQ的面積的范圍嗎?寫出過程.
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