Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，動(dòng)點(diǎn)M、N從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點(diǎn)A、B移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2cm的速度沿BA向終點(diǎn)A移動(dòng)，連接PM，PN，MN，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒，0＜t＜2.5）．

（1）當(dāng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離為 cm．

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.(3) 當(dāng)t=時(shí)，四邊形APNC的面積S有最小值，其最小值是．

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，構(gòu)造平行線PH∥AC，由平行線分線段成比例求得以t表示的PH的值；

（2）分類討論：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC兩種情況．利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來求t的值；

（3）根據(jù)“S=S△ABC-S△BPH”列出S與t的關(guān)系式S=（t-）2+（0＜t＜2.5），則由二次函數(shù)最值的求法即可得到S的最小值．

試題解析：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，

∴AB=5cm，

過P作PH⊥BC于H，則∠PHB=∠C=90°，

∵∠B=∠B，

∴△BPH∽△BAC，

∴

∴，

解得：PH=（cm），

（2）以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，分兩種情況：

①當(dāng)△AMP∽△ABC時(shí)，，即，

解得t=；

②當(dāng)△APM∽△ABC時(shí)，，即，

解得t=0（不合題意，舍去）；

綜上所述，當(dāng)t=秒時(shí)，以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；

（3）存在某一時(shí)刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值．理由如下：

假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值．

如圖，∵由（1）知：PH=，

∴S=S△ABC-S△BPN，

=×3×4-×（3-t）t，

=（t-）2+（0＜t＜2.5）．

∵＞0，

∴S有最小值．

當(dāng)t=時(shí)，S最小值=．

答：當(dāng)t=時(shí)，四邊形APNC的面積S有最小值，其最小值是．