19.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù))與x軸交于兩個不同的點A、B,與y軸交于點C,圖象頂點為點D,以AB為直徑的⊙M經(jīng)過點D.
(1)若a:b:c=1:3:2,求a的值;
(2)若⊙M與直線y=x相切,試判斷S△ABC與S△ABD的大小關(guān)系,并說明理由;
(3)若⊙M與直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x相交于點P、Q,拋物線經(jīng)過點(1,0),弦長PQ=|$\frac{1}{a}$|,求a的值.

分析 (1)設(shè)A(x1,0),B(x2,0),頂點D(-$\frac{2a}$,$\frac{4ac-^{2}}{4a}$),因為以AB為直徑的⊙M經(jīng)過點D,所以△ABD是等腰直角三角形,則有$\frac{1}{2}$|x1-x2|=|$\frac{4ac-^{2}}{4a}$|,即$\frac{1}{4}$[(x1+x22-4x1x2]=$\frac{(4ac-^{2})^{2}}{16{a}^{2}}$,即$\frac{1}{4}$($\frac{^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4c}{a}$)=$\frac{(4ac-^{2})^{2}}{16{a}^{2}}$,推出b2-4ac=4,由a:b:c=1:3:2,設(shè)a=k,b=3k,c=2k,代入即可解決問題.
(2)結(jié)論:S△ABD=2S△ABC.因為△OMN是等腰直角三角形,所以O(shè)M=$\sqrt{2}$MN,可得$\frac{|{x}_{1}+{x}_{2}|}{2}$=$\sqrt{2}$•$\frac{|{x}_{1}-{x}_{2}|}{2}$,推出b2=8ac,所以拋物線的頂點D縱坐標為$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=-c,由點C坐標(0,c),可知S△ABD=S△ABC
(3)結(jié)論:S△ABC=2S△ABD.如圖1中,作MN⊥PQ于N,連接PM.在Rt△NMP中,根據(jù)MN2+PN2=PM2,得$\frac{1}{16}$(x1+x22+$\frac{1}{4{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$(x1-x22,推出b2=12,ac=2,由題意a+b+c=0,推出a+c=±2$\sqrt{3}$,a-c=±2,由此即可解決問題.

解答 解:(1)設(shè)A(x1,0),B(x2,0),
∵頂點D(-$\frac{2a}$,$\frac{4ac-^{2}}{4a}$),
又∵以AB為直徑的⊙M經(jīng)過點D,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴$\frac{1}{2}$|x1-x2|=|$\frac{4ac-^{2}}{4a}$|,
∴$\frac{1}{4}$[(x1+x22-4x1x2]=$\frac{(4ac-^{2})^{2}}{16{a}^{2}}$,
∴$\frac{1}{4}$($\frac{^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4c}{a}$)=$\frac{(4ac-^{2})^{2}}{16{a}^{2}}$,
∵a≠0,
整理得(b2-4ac)(b2-4ac-4)=0,
∵b2-4ac>0,
∴b2-4ac=4,
∵a:b:c=1:3:2,設(shè)a=k,b=3k,c=2k,
∴9k2-8k2=4,
∴k=±2,
∴a=±2.

(2)結(jié)論:S△ABD=S△ABC.理由如下,
如圖1中,設(shè)⊙M與直線y=x相切于到N,連接MN.

∵△OMN是等腰直角三角形,
∴OM=$\sqrt{2}$MN,
∴$\frac{|{x}_{1}+{x}_{2}|}{2}$=$\sqrt{2}$•$\frac{|{x}_{1}-{x}_{2}|}{2}$,
∴(x1+x22=2[(x1+x22-4x1x2],
∴(x1+x22=8x1x2
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{8c}{a}$,
∴b2=8ac,
∴拋物線的頂點D縱坐標為$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=-c,
∵點C坐標(0,c),
∴S△ABD=S△ABC


(3)如圖2中,作MN⊥PQ于N,連接PM.

由(1)可知MP=$\frac{1}{2}$|x1-x2|,OM=|$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$|,由題意∠MON=30°,
∴NM=$\frac{1}{2}$OM=$\frac{1}{4}$|x1+x2|,
在Rt△NMP中,∵MN2+PN2=PM2,
∴$\frac{1}{16}$(x1+x22+$\frac{1}{4{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$(x1-x22,
∴$\frac{^{2}}{16{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$($\frac{^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4c}{a}$),
∴b2+4=4(b2-4ac),
∵b2-4ac=4(已證),
∴b2=12,ac=2,
∵拋物線經(jīng)過(1,0),
∴a+b+c=0,
∴(a+c)2=12,(a-c)2=4
∴a+c=±2$\sqrt{3}$,a-c=±2,
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}+1}\\{c=\sqrt{3}-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}-1}\\{c=\sqrt{3}+1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=1-\sqrt{3}}\\{c=-1-\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1-\sqrt{3}}\\{c=1-\sqrt{3}}\end{array}\right.$,
∴a的值為$\sqrt{3}$±1或-$\sqrt{3}$±1.

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系、等腰直角三角形的性質(zhì)、中點坐標公式、勾股定理等知識,解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題,學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題,學會利用參數(shù)解決問題,屬于中考壓軸題.

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