Question

【題目】 如圖點在以為直徑的半圓的圓周上，若 為邊上一動點，點和關(guān)于對稱 ，當(dāng)與重合時，為的延長線上滿足的點，當(dāng)與不重合時，為的延長線與過且垂直于的直線的交點，

（1）當(dāng)與不重合時，的結(jié)論是否成立？試證明你的判斷．

（2）設(shè) 求關(guān)于 的函數(shù)及其定義域；

（3）如存在或恰好落在弧或弧上時，求出此時的值；如不存在，則請說明理由．

（4）請直接寫出當(dāng)從運動到時，線段掃過的面積．

Answer 1

【答案】(1)成立；（2）；（3）x=0或x=2；（4）

【解析】

試題分析：（1）設(shè)DE交AC于M，DF交BC于N．由軸對稱圖形的性質(zhì)可知EM=DM，ED⊥AC，然后可證明AC∥DF，由平行線分線成比例定理可知 ；

（2）①當(dāng)D與A不重合時．先證明四邊形CNDM是矩形，從而得到MD∥BC，由平行線的性質(zhì)可知∠ADM=∠ABC=30°，由特殊銳角三角函數(shù)可知ED= ，DN= = （4﹣x）=2﹣，然后由平行線分線段成比例定理可知DN=NF，從而得到DF=2DN=4﹣x，最后在Rt△EFD中，由勾股定理可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)D與A重合時，y=2AC=4；

（3）①當(dāng)點E在弧AC上時．由題意可知∠CAD=60°，由點E與點D關(guān)于AC對稱可知：∠EAD=120°，故此點E不在弧AC上，故當(dāng)且僅當(dāng)點D與點A重合是，點E也與點A重合時，成立；②當(dāng)點F在 上時，如圖3所示，連接BF、AF．由題意可知∠FDB=60°，由（2）可知DF=2DN，DB=2DN，故此DF=DB，從而可證明△DFB為等邊三角形，于是得到DB=DF，然后再證明AD=DF，從而可知點D與點O重合，于是得到AD= =2；

（4）由（2）可知∠EAD=2∠CAD=120°，故此點E運動的軌跡為一條線段，由（3）可知∠FBD=60°，故此點F運動的軌跡也是一條線段，然后畫出圖形，最后利用三角形的面積公式即可求得答案．

試題解析：

成立：如圖，設(shè)DE交AC于M,DF交BC于N；

由已知，,

故，因此，又，.

當(dāng)D與A不重合時，,由AD=x,

得中，，故；

中，BD=4-x，故，

由（1），，故，因此DF=4-x=DB；

中，；

當(dāng)D與A重合時，如圖A、D、E重合，故y=EF=2AC=4(x=0)；

綜上，；

當(dāng)E在上時，由翻折的性質(zhì)，，

而此時，不滿足條件，

故當(dāng)且僅當(dāng)D與A重合時，E也與A重合符合條件，此時AD=0;

當(dāng)F在上時，如圖，連接BF、AF，

由且DF=DB，故為等邊三角形，，

AB為直徑，故，，

因此AD=FD=BD,即此時D與O重合，DF=2;

又此時DF=4-x=2,故x=2；

綜上，x=0或x=2；

如圖，EF初始位置為，與A點重合；

EF終止位置為，與B點重合；

由，故知E點運動軌跡為線段；

，故知F點運動軌跡為線段，

陰影部分面積即為所求，.