Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線交坐標軸于兩點，拋物線經(jīng)過兩點，且交軸于另一點.點為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，過點作交于點，交軸于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點的橫坐標為在點移動的過程中，存在求出此時的值；

（3）在拋物線上取點在坐標系內(nèi)取點問是否存在以為頂點且以為邊的矩形？如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，點的坐標為或．

【解析】

（1）先利用一次函數(shù)與坐標軸相交，求出B、C兩點的坐標，再根據(jù)拋物線解析式及A、B兩點坐標設(shè)出交點式，再將C的坐標代入求出a的值即可得到拋物線解析式；

（2）如圖，過點D作DM⊥BC于M，點P（m，m＋3），點D（m，m2＋2m＋3），利用參數(shù)求出DM，CM的長，由銳角三角函數(shù)可求解；
（3）分兩種情況討論，當CE⊥BC時或BE⊥BC時，分別求出直線CE的方程或BE的方程，聯(lián)立方程組可求解．

直線交坐標軸于兩點，

點的坐標為，點的坐標為

點的坐標為，點的坐標為

設(shè)拋物線的解析式為．

將代入．

得

拋物線解析式為．

過點作于點，如圖1所示

設(shè)點坐標為，則點坐標為

．

在中，

在中，

在中，，

在中，．

在中，

，

在中，由勾股定理，

得

又

解得(舍去)，

的值為

（3）存在，
若CE⊥BC時，
∴直線CE解析式為：y＝x＋3，
∴
∴(舍去)或者
∴點E坐標（1，4），
若BE⊥BC時，
∴直線BE解析式為：y＝x3，
∴
∴（舍去），或者
∴點E坐標（2，5），
綜上所述：當點E（1，4）或（2，5）時，以C、B、E、F為頂點且以CB為邊的矩形．