Question

【題目】如圖，在中，，點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，交于點(diǎn)將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為當(dāng)為等腰三角形時(shí)，則的長(zhǎng)為____．

Answer 1

【答案】2或

【解析】

分兩種情況討論，作∠ABC的角平分線，根據(jù)三線合一的定理可以求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理列方程，解方程即可求出AE的長(zhǎng)．

解：在中，

∵，

∴為等腰三角形，

∴．

分兩種情況討論，

①作∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)O，如圖1所示，

∵為等腰三角形，

∴BO⊥AC，

∴．

在Rt△OBC中，由勾股定理得：，

∴，

∵為等腰三角形，

∴，

∴，

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，，

∴．

∵交于點(diǎn)，

∴，

在Rt△AED中，設(shè)，則，

根據(jù)勾股定理得，，

即，解得：，

則

②作∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)O，作∠BFC的角平分線交BC于G，如圖2所示，

∵為等腰三角形，

∴BO⊥AC，

∴．

在Rt△OBC中，由勾股定理得：，

∴，

∵為等腰三角形，，

∴，，

∴，

在Rt△CFG中，設(shè)，則．

由勾股定理得，

即，解得：，

∴，

∴．

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，，

∴．

∵交于點(diǎn)，

∴，

在Rt△AED中，設(shè)，則，

由勾股定理得，

即，解得，

∴．

故答案為2或．