Question

【題目】如圖，二次函數(shù)（a≠0）的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，點B的坐標(biāo)為（3，0），頂點C的坐標(biāo)為（1，4）．

（1）求二次函數(shù)的解析式和直線BD的解析式；

（2）點P是直線BD上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M，當(dāng)點P在第一象限時，求線段PM長度的最大值；

（3）在拋物線上是否存在異于B、D的點Q，使△BDQ中BD邊上的高為？若存在求出點Q的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），y=﹣x+3；（2）；（3）Q（﹣1，0）或（4，﹣5）．

【解析】試題（1）可設(shè)拋物線解析式為頂點式，由B點坐標(biāo)可求得拋物線的解析式，則可求得D點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線BD解析式；

（2）設(shè)出P點坐標(biāo)，從而可表示出PM的長度，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；

（3）過Q作QG∥y軸，交BD于點G，過Q和QH⊥BD于H，可設(shè)出Q點坐標(biāo)，表示出QG的長度，由條件可證得△DHG為等腰直角三角形，則可得到關(guān)于Q點坐標(biāo)的方程，可求得Q點坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵拋物線的頂點C的坐標(biāo)為（1，4），∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+4，∵點B（3，0）在該拋物線的圖象上，∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+4，即，∵點D在y軸上，令x=0可得y=3，∴D點坐標(biāo)為（0，3），∴可設(shè)直線BD解析式為y=kx+3，把B點坐標(biāo)代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，∴直線BD解析式為y=﹣x+3；

（2）設(shè)P點橫坐標(biāo)為m（m＞0），則P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=，∴當(dāng)m=時，PM有最大值；

（3）如圖，過Q作QG∥y軸交BD于點G，交x軸于點E，作QH⊥BD于H，設(shè)Q（x，﹣x2+2x+3），則G（x，﹣x+3），∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO=45°，∴∠HGQ=∠BGE=45°，當(dāng)△BDQ中BD邊上的高為時，即QH=HG=，∴QG=×=4，∴|﹣x2+3x|=4，當(dāng)﹣x2+3x=4時，△=9﹣16＜0，方程無實數(shù)根，當(dāng)﹣x2+3x=﹣4時，解得x=﹣1或x=4，∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5）．

綜上可知存在滿足條件的點Q，其坐標(biāo)為（﹣1，0）或（4，﹣5）．