【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,我們定義直線為拋物線(a、b、c為常數(shù),a≠0)的“夢想直線”;有一個頂點(diǎn)在拋物線上,另有一個頂點(diǎn)在y軸上的三角形為其“夢想三角形”,已知拋物線與其“夢想直線”交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C.
(1)填空:該拋物線的“夢想直線”的解析式為 ,點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ,點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ;
(2)如圖,點(diǎn)M為線段BC上一動點(diǎn),將△ACM以AM所在直線為對稱軸翻折,點(diǎn)C的對稱點(diǎn)為N,若△AMN為該拋物線的“夢想三角形”,求點(diǎn)N的坐標(biāo);
(3)在該拋物線的“夢想直線”上,是否存在點(diǎn)P,使△ACP為等腰三角形?若存在,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1);;;(2)(0,);(3)(0,1),(,),(,),(,).
【解析】
(1)由夢想直線的定義可求得其解析式,聯(lián)立夢想直線與拋物線解析式可求得、的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點(diǎn)在軸上時,過作軸于點(diǎn),過作軸于點(diǎn),則,,,利用勾股定理,可以得出AC的長,設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為:(0,y),根據(jù)翻轉(zhuǎn),可得,結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo),利用勾股定理,可求得點(diǎn)坐標(biāo);
(3)分3種情況:當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,分別結(jié)合題目的已知條件進(jìn)行討論,即可求出P點(diǎn)坐標(biāo).
解:(1)拋物線,
其夢想直線的解析式為,
聯(lián)立夢想直線與拋物線解析式可得,解得或,
,,,
故答案為:;;;
(2)當(dāng)點(diǎn)在軸上時,為夢想三角形,
如圖,過作軸于點(diǎn),過作軸于點(diǎn),
則,,,
∴,
設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為:(0,y)(),則,
∵將△ACM以AM所在直線為對稱軸翻折,點(diǎn)C的對稱點(diǎn)為N,
則有,即:,
解之得:,
∴N的坐標(biāo)為:(0,);
(3)在該拋物線的“夢想直線”上,存在點(diǎn)P,使△ACP為等腰三角形,
∵拋物線中,當(dāng)時,,,
∴C的坐標(biāo)為:(-3,0);
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為:(x,-x+1)
①如圖示,
當(dāng)時,即有
解之得:,,
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為:(0,1),(-2,3)(此點(diǎn)為A點(diǎn),不合題意,舍去)
②如圖示,
當(dāng)時,即有
解之得:,,
∴,
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為:(,),(,);
③如圖示,
當(dāng)時,作AC的垂直平分線KP,KP交AC于點(diǎn)K,
∴K的坐標(biāo)為:(-2.5,1.5),
∵A的坐標(biāo)為:(-2,3),C的坐標(biāo)為:(-3,0),
∴,
∴,
∴,將(-2.5,1.5)代入,則
∴KP的解析式為:
聯(lián)立夢想直線與直線KP的解析式可得,解得
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為:(,),
綜上所述,P點(diǎn)坐標(biāo)為:(0,1),(,),(,),(,);
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若整數(shù)a既使得關(guān)于x的分式方程有非負(fù)數(shù)解,又使得關(guān)于x的不等式x2-x+a+5≥0恒成立,則符合條件的所有a的個數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線ED相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DF⊥AC交AC延長線于點(diǎn)F,若AB=8,AC=4,則CF的長為_________.
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【題目】(12分)如圖,已知三角形ABC的邊AB是⊙O的切線,切點(diǎn)為B.AC經(jīng)過圓心O并與圓相交于點(diǎn)D、C,過C作直線CE丄AB,交AB的延長線于點(diǎn)E.
(1)求證:CB平分∠ACE;
(2)若BE=3,CE=4,求⊙O的半徑.
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【題目】2020年,一場突然而來的新型冠狀病毒肺炎疫情阻擋了學(xué)生們開學(xué)的腳步,多地學(xué)校進(jìn)行了“戰(zhàn)役在家,線上課堂”活動,保證學(xué)生離校不離學(xué),為減少初中生被網(wǎng)絡(luò)詐騙的案件,因此要求學(xué)生掌握防詐騙知識并進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)測評.為了解某校學(xué)生的測試情況,從中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并把測試成績分為A.B.C.D四個等次,繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請你依圖解答下列問題:
(1)a= ,b= ,c= ;
(2)請將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整,并計(jì)算表示C等次的扇形所對的圓心角的度數(shù);
(3)學(xué)校決定從A等次的甲、乙、丙、丁四名學(xué)生中,隨機(jī)選取兩名學(xué)生參加全市中學(xué)生防網(wǎng)絡(luò)詐騙知識競賽,請用列表法或畫樹狀圖法,求甲、乙兩名學(xué)生同時被選中的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)是上(除點(diǎn)外)一點(diǎn),以為邊作等邊,與交于兩點(diǎn).記的長為,點(diǎn)到的距離為,點(diǎn)到的距離為:
小騰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對,,的長度之間的關(guān)系進(jìn)行了探究.
下面是小騰的探究過程,請補(bǔ)充完整:
(1)對于點(diǎn)在上的不同位置,畫圖、測量,得到了,,的長度幾組值,如下表:
在,,的長度這三個量中,確定 是自變量, 和 都是這個自變量的函數(shù);
(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出(1)中所確定的函數(shù)的圖像;
(3)結(jié)合函數(shù)圖像,解決問題:當(dāng)點(diǎn)在平分線上時,的長約為 cm.
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【題目】對角線長分別為和的菱形如圖所示,點(diǎn)為對角線的交點(diǎn).過點(diǎn)折疊菱形,使兩點(diǎn)重合,是折痕,若,則的長為( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象與邊長是6的正方形OABC的兩邊AB,BC分別相交于M,N 兩點(diǎn),△OMN的面積為10.若動點(diǎn)P在x軸上,則PM+PN的最小值是( )
A. 6 B. 10 C. 2 D. 2
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【題目】某市對火車站進(jìn)行了大規(guī)模的改建,改建后的火車站除原有的普通售票窗口外,新增了自動打印車票的無人售票窗口.某日,從早8點(diǎn)開始到上午11點(diǎn),每個普通售票窗口售出的車票數(shù)y1(張)與售票時間x(小時)的正比例函數(shù)關(guān)系滿足圖①中的圖象,每個無人售票窗口售出的車票數(shù)y2(張)與售票時間x(小時)的函數(shù)關(guān)系滿足圖②中的圖象.
(1)圖②中圖象的前半段(含端點(diǎn))是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線的一部分,根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)確定拋物線的表達(dá)式為 ,其中自變量x的取值范圍是 ;
(2)若當(dāng)天共開放5個無人售票窗口,截至上午9點(diǎn),兩種窗口共售出的車票數(shù)不少于1450張,則至少需要開放多少個普通售票窗口?
(3)上午10點(diǎn)時,每個普通售票窗口與每個無人售票窗口售出的車票數(shù)恰好相同,試確定圖②中圖象的后半段一次函數(shù)的表達(dá)式.
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