Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D時(shí)拋物線的頂點(diǎn)

（1）求拋物線的解析式和直線的解析式；

（2）試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)，為直角邊的三角形是直角三角形，若存在，請(qǐng)求出，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；直線AC的方程為；（2）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為，化簡(jiǎn)得，與原題的解析式對(duì)比，易得，解出a的值，代入所設(shè)解析式即可得拋物線解析式；

根據(jù)拋物線與軸交于點(diǎn)C，可求得，設(shè)直線AC的解析式為，把A、C的坐標(biāo)代入可求出，從而即可求得直線AC的解析式；

（2）分兩種情況求解：①過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P，則直線PC的解析式為，再聯(lián)立，可求得交點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

②過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于點(diǎn)P，則可得所以直線PC的解析式為，聯(lián)立，可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為，

，

∵，

，

∴，

所以拋物線的解析式為；

當(dāng)時(shí)， ，

∴；

設(shè)直線AC的解析式為，

把代入， ，

所以，

所以直線AC的方程為；

(2)存在；理由如下：

①過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P，

∵直線AC的方程為，

∴直線PC的解析式為，

解方程組：，

解得：或，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

②過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于點(diǎn)P，

直線PC的解析式為，

把代入得，

所以直線PC的解析式為，

解方程組：，

解得：或，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．