Question

10．如圖，一次函數(shù)y₁=x+m（m＞0）的圖象與x軸交于點A，一次函數(shù)y₂=nx+2的圖象與x軸交于點B，點P（$\frac{1}{3}，\frac{4}{3}$）是兩函數(shù)圖象的交點．
（1）求函數(shù)y₁、y₂的關(guān)系式；
（2）若∠PBA=64°，求∠APB的度數(shù)；
（3）求四邊形PCOB的面積；
（4）在x軸上，是否存在一點Q，使以點Q、B、C為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點P在兩個函數(shù)圖象的交點，利用待定系數(shù)法解答即可；
（2）根據(jù)點C的坐標(biāo)得出OA=OC，得出∠CAB=45°，再利用三角形內(nèi)角和定理解答即可；
（3）先求出點B的坐標(biāo)，再求出AB的長，然后根據(jù)S_{四邊形PCOB}=S_△PAB-S_△AOC即可求解；
（4）分三種情況討論：①當(dāng)QB=QC時，②當(dāng)BQ=BC時，③當(dāng)BC=QC時解答．

解答 解：（1）∵P（$\frac{1}{3}，\frac{4}{3}$）是兩函數(shù)圖象的交點，
∴$\frac{4}{3}=\frac{1}{3}+m\\;\\;\frac{4}{3}=\frac{1}{3}n=2$，$\frac{4}{3}=\frac{1}{3}n+2$，
解得：m=1，n=-2，
所以y₁=x+1，y₂=-2x+2；
（2）把x=0代入y₁=x+1，可得y=1，
把y=0代入y₁=x+1，可得x=-1，
所以O(shè)A=OC=1，
所以∠CAB=45°，
∵∠PBA=64°，
∴∠APB=180°-45°-64°=71°；
（3）∵直線y₁=x+1與x，y軸分別交于點A，C，
∴A（-1，0），C（0，1），
∴OA=1，OC=1，
∵直線y₂=-2x+2與x軸交于點B，
∴B（1，0），
∴OB=1，
∴AB=|1-（-1）|=2，
∴${S}_{PCOB}={S}_{△PAB}-{S}_{△AOC}=\frac{1}{2}AB•|{y}_{P}|-\frac{1}{2}OA$•OC=$\frac{1}{2}×2×\frac{4}{3}-\frac{1}{2}×1×1=\frac{5}{6}$；
（4）①當(dāng)QB=QC時，Q（0，0）；
②當(dāng)BQ=BC時，點Q（$1-\sqrt{2}$，0）或（$1+\sqrt{2}$，0）；
③當(dāng)BC=QC時，Q（-1，0）．

點評 本題考查了一次函數(shù)綜合知識，難度適中，關(guān)鍵是掌握分類討論思想的運用．