Question

已知正方形紙片ABCD的邊長為2．如圖，將正方形紙片折疊，使頂點(diǎn)A落在邊CD上的點(diǎn)P處（點(diǎn)P與C、D不重合），折痕為EF，折疊后AB邊落在PQ的位置，PQ與BC交于點(diǎn)G．
（1）求證：△DEP與△CPG相似；
（2）當(dāng)點(diǎn)P位于CD中點(diǎn)時，求：△DEP與△CPG周長的比；
（3）在（2）的條件下，求證：以P為圓心，以1為半徑的圓與直線EG相切．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，∠EPG=90°，可得∠EPD+∠CPG=90°，又∠EPD+∠PED=90°，所以∠CPG=∠PED．加上∠C=∠D，可得△EDP∽△PCG；
（2）根據(jù)相似三角形性質(zhì)求解．因?yàn)镃P=1，所以需求對應(yīng)邊DE的長度．設(shè)DE=x，則AE=EP=2-x，根據(jù)勾股定理可求；
（3）連接EG，過P作PH⊥EG交于H，由（2）中的數(shù)據(jù)利用勾股定理分別求出PG和EG的長，根據(jù)直角三角形EPG的面積等于

1

2

PE•PG=

1

2

PH•EG，從而可求出PH的長為1，恰好為圓的半徑，所以以P為圓心，以1為半徑的圓與直線EG相切．

解答：（1）證明：（如圖1所示）
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
由折疊知∠EPQ=∠A=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3．
∴△DEP∽△CPG；

（2）解：（如圖2所示）
∵四邊形ABCD是正方形，AB=2，
∴AB=BC=CD=DA=2．
設(shè)AE=x，則ED=2-x，EP=x．
∵P是CD的中點(diǎn)，
∴DP=PC=1．
在Rt△EDP中，∠D=90°，
根據(jù)勾股定理得：x²=（2-x）²+1，
解得 x=

5

4

，
∴ED=

3

4

，
∵△PCG∽△EDP，
∴

PC

ED

=

1 3

4

=

4

3

，
∴△DEP與△CPG周長的比是3：4；
（3）證明：連接EG，過P作PH⊥EG交于H，（如圖2）
∵△PCG∽△EDP，
∴

PC

DE

=

CG

DP

，
∴

1

3 4

=

CG

1

，
∴CG=

4

3

，
∴PG=

CG2+CP2

=

5

3

，
∵AE=EP=

5

4

，
∴EG=

PE2+PG2

=

25

12

，
∴PH=

PE•PG

EG

=

5 4 × 5 3

25 12

=1，
∴圓心到直線的距離等于1，
∴以P為圓心，以1為半徑的圓與直線EG相切．

點(diǎn)評：此題考查了翻折變換、勾股定理及正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)和圓的切線的判定，綜合性較強(qiáng)，解答本題的關(guān)鍵是要求我們熟練勾股定理在解直角三角形中的應(yīng)用，及翻折變換的性質(zhì)，難度較大．