Question

如圖1，將等腰直角三角形紙片ABC沿底邊上的高CD剪開，得到兩個(gè)全等的三角形△ADC，△BDC，已知AC=4．
（1）求AB的長；
（2）將△ADC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′DC′，DC′交BC于點(diǎn)E（如圖2）．設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β（0°＜β＜90°）．當(dāng)△DBE為等腰三角形時(shí)，求β的值．
（3）若將△DBC沿BA方向平移得到△D′B′C′（如圖3），C′D′與AC交于點(diǎn)F，B′C′與DC交于點(diǎn)H．四邊形DD′FH能否為正方形？若能，求平移的距離是多少；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)勾股定理求出AB的長即可；
（2）分BD=BE，ED=BE及BD=DE三種情況進(jìn)行討論；
（3）設(shè)平移的距離為x，則BB′=DD′=x，DB′=2

2

-x  由四邊形DD′FH為正方形可知DH=DB′=x，即2

2

-x=x，求出x的值即可．

解答：解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，AC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=

42+42

=4

2

；

（2）當(dāng)BD=BE時(shí)，
∵∠B=45°，
∴∠BDE=∠BED=67.5°，
∴β=90°-67.5°=22.5°；
當(dāng)ED=BE時(shí)，
∵∠B=45°，
∴∠BED=45°，β=90°-45°=45°；
BD=DE不存在．

（3）設(shè)平移的距離為x，
∵BB′=DD′=x，
∴DB′=2

2

-x  
∵四邊形DD′FH為正方形
∴DH=DB′=x，即2

2

-x=x，解得x=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是幾何變換綜合題，熟知等腰直角三角形及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．