Question

在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．動(dòng)點(diǎn)M、N分別在兩腰AB、AC上（M不與A、B重合，N不與A、C重合），且MN∥BC．將△AMN沿MN所在的直線折疊，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)MN為何值時(shí)，點(diǎn)P恰好落在BC上？
（2）當(dāng)MN=x，△MNP與等腰△ABC重疊部分的面積為y，試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式．當(dāng)x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

解：（1）連接AP，交MN于O，
∵將△AMN沿MN所在的直線折疊，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為P，
∴OA=OP，AP⊥MN，AN=PN，AM=PM，
∵M(jìn)N∥BC，
∴△AMN∽△ABC，AO⊥MN，
∴，
∵BC=6，
∴MN=3，
∴當(dāng)MN=3時(shí)，點(diǎn)P恰好落在BC上；

（2）過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，交MN于O，
∵M(jìn)N∥BC，
∴AO⊥MN，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，BD=BC=3，
∴AD=4，
∴，
∴AO=x，
∴S_△AMN=MN•AO=•x•x=x²，
當(dāng)AO≤AD時(shí)，
根據(jù)題意得：S_△PMN=S_△AMN，
∴△MNP與等腰△ABC重疊部分的面積為S_△AMN，
∴y=x²，
∴當(dāng)AO=AD時(shí)，即MN=BC=3時(shí)，y最大，最大值為3；
當(dāng)AO＞AD時(shí)，
連接AP交MN于O，
則AO⊥MN，
∵M(jìn)N∥BC，
∴AP⊥BC，△AMN∽△ABC，△PEF∽△PMN∽△AMN，
∴，，
即：，，
∴AO=x，
∴，
∴EF=2x-6，OD=AD-AO=4-x，
∴y=S_梯形MNFE=（EF+MN）•OD=×（2x-6+x）×（4-x）=-（x-4）²+4，
∴當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值，最大值為4，
綜上所述：當(dāng)x=4時(shí)，y的值最大，最大值是4．
分析：（1）首先連接AP，交MN于O，由MN∥BC．將△AMN沿MN所在的直線折疊，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為P，即可得△AMN∽△ABC，，則可求得當(dāng)MN為何值時(shí)，點(diǎn)P恰好落在BC上；
（2）此題需要分為當(dāng)AO≤AD時(shí)與當(dāng)AO＞AD時(shí)去分析，首先由△AMN∽△ABC，求得各線段的長，然后求△MNP與等腰△ABC重疊部分的面積，即可得關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法，即可求得答案．
點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．