Question

【題目】大家在學(xué)完勾股定理的證明后發(fā)現(xiàn)運(yùn)用“同一圖形的面積不同表示方式相同”可 以證明一類含有線段的等式，這種解決問題的方法我們稱之為面積法．學(xué)有所用：在等腰 三角形 ABC中，AB=AC，其一腰上的高為h，M 是底邊BC上的任意一點(diǎn)，M 到腰AB、AC 的距離分別為 h1、h2 ．

（1）請(qǐng)你結(jié)合圖形來證明： h1+h2=h；

（2）當(dāng)點(diǎn)M在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，h1、h2、h 之間又有什么樣的結(jié)論．請(qǐng)你畫出圖形，并直

接寫出結(jié)論不必證明；

（3）利用以上結(jié)論解答，如圖在平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線l1：y=x+3，l2：y=-3x+3

若 l2上的一點(diǎn)M 到l1的距離是，求點(diǎn) M 的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）h1﹣h2=h；（3）點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 M（，）或（﹣，）．

【解析】

（1）根據(jù)S△ABC=S△ABM+S△AMC即可求出答案；

（2）h1-h2=h；

（3）先求得△ABC為等腰三角形，再根據(jù)（1）（2）的結(jié)果分①當(dāng)點(diǎn)M在BC邊上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)M在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，求得M的坐標(biāo)．③當(dāng)點(diǎn)M在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，h1=＜h，不存在.

（1）證明：連接 AM，

由題意得 h1=ME，h2=MF，h=BD，

∵S△ABC=S△ABM+S△AMC，

S△ABM=×AB×ME=×AB×h1，

S△AMC=×AC×MF=×AC×h2，

又∵S△ABC=×AC×BD=×AC×h，AB=AC，

∴×AC×h=×AB×h1+×AC×h2，

∴h1+h2=h．

（2）如圖所示：

h1﹣h2=h．

（3）解：在 y=x+3 中，令 x=0 得 y=3；令 y=0 得 x=﹣4，所以 A（﹣4，0），B（0，3）

同理求得 C（1，0）．

AB==5，AC=5，所以 AB=AC，

即△ABC 為等腰三角形．

（ⅰ）當(dāng)點(diǎn) M 在 BC 邊上時(shí)，由 h1+h2=h 得：+My=OB，My=3﹣=， 把它代入y=﹣3x+3 中求得：Mx=，所以此時(shí) M（,）

（ⅱ）當(dāng)點(diǎn) M 在 CB 延長(zhǎng)線上時(shí)，由 h1﹣h2=h 得：My﹣=OB，My=3+=，

把它代入 y=﹣3x+3 中求得：Mx=﹣， 所以此時(shí) M（﹣，）．

綜合（�。�、（ⅱ）知：點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 M（，）或（﹣，）．