Question

【題目】解答題

（1）如圖1，以△ABC的邊AB、AC為邊分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，試判斷△ABC與△AEG面積之間的關(guān)系，并說明理由．
（2）園林小路，曲徑通幽，如圖2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石鋪成．已知中間的所有正方形的面積之和是a平方米，內(nèi)圈的所有三角形的面積之和是b平方米，這條小路一共占地多少平方米．

Answer 1

【答案】
（1）

解：△ABC與△AEG面積相等．

理由：過點(diǎn)C作CM⊥AB于M，過點(diǎn)G作GN⊥EA交EA延長線于N，則∠AMC=∠ANG=90°，

∵四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形，

∴∠BAE=∠CAG=90°，AB=AE，AC=AG，

∵∠BAE+∠CAG+∠BAC+∠EAG=360°，

∴∠BAC+∠EAG=180°，

∵∠EAG+∠GAN=180°，

∴∠BAC=∠GAN，

在△ACM和△AGN中，

，

∴△ACM≌△AGN，

∴CM=GN，

∵S△ABC= ABCM，S△AEG= AEGN，

∴S△ABC=S△AEG

（2）

解：由（1）知外圈的所有三角形的面積之和等于內(nèi)圈的所有三角形的面積之和．

∴這條小路的面積為（a+2b）平方米．

【解析】（1）過點(diǎn)C作CM⊥AB于M，過點(diǎn)G作GN⊥EA交EA延長線于N，得出△ABC與△AEG的兩條高，由正方形的特殊性證明△ACM≌△AGN，是判斷△ABC與△AEG面積之間的關(guān)系的關(guān)鍵；（2）同（1）道理知外圈的所有三角形的面積之和等于內(nèi)圈的所有三角形的面積之和，求出這條小路一共占地多少平方米．