【題目】定義:在等腰三角形中,對于頂角的每一個確定的值,其底邊與腰的比值都是唯一確定的,這個比值是頂角的正對函數(shù).例如:圖①,在△ABC中,AB=AC,頂角A的正對函數(shù)記作sadA,sadA=或sadA=.
(1)在圖①中,若∠B=60°,則sadA= .
(2)如圖②,在△ABC中,AB=AC,若∠BAC=120°,求sad∠BAC.
(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,直接寫出三個內(nèi)角的正對函數(shù)值.
【答案】(1)1(2)(3), , .
【解析】試題分析:
(1) 由題意可知△ABC為等邊三角形. 等邊三角形三邊相等,由正對函數(shù)的定義知∠A的正對函數(shù)值為1.
(2) 要求∠BAC的正對函數(shù)值,就是要求線段BC與線段AB或AC的比. 由于題目中沒有給出線段長度的具體數(shù)值,所以可以將線段AB或AC的長設(shè)為2a (其中a>0). 利用BC邊上的高AD,通過解Rt△ABD的方式求得線段BD的長. 利用線段BD的長容易得到線段BC的長,進(jìn)而求得∠BAC的正對函數(shù)值.
(3) 要求該直角三角形三個內(nèi)角的正對函數(shù)值,應(yīng)該以每一個內(nèi)角為頂角依次構(gòu)造等腰三角形,求解所構(gòu)造的等腰三角形的底邊和腰的長度,最后根據(jù)正對函數(shù)的定義得到要求的值.
在構(gòu)造等腰三角形時,可以在原直角三角形的基礎(chǔ)上,通過在適當(dāng)?shù)倪吷辖厝∠鄳?yīng)的邊長即可構(gòu)造出三個符合要求的等腰三角形.
試題解析:
(1) ∵在△ABC中,AB=AC,
又∵∠B=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC=BC.
∴.
故本題應(yīng)填寫:1.
(2)
如圖,過點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為D.
設(shè)AB=AC=2a (a>0).
∵∠BAC=120°,AB=AC,AD⊥BC,
∴在等腰三角形ABC中,BD=CD,∠B=∠C=30°.
∴在Rt△ADB中, .
∴CD=BD= ,
∴,
∴.
(3) , , . 具體求解過程如下.
根據(jù)題意畫出如圖①所示的Rt△ABC.
設(shè)AB=5a (a>0),則根據(jù)可知,BC=4a,AC=3a, .
下面求解∠C的正對函數(shù)值.
如圖②,在線段CB上截取CD=CA,則△ACD是以∠C為頂角的等腰三角形.
∵∠C=90°,CD=CA=3a,
∴在Rt△ACD中, .
∴.
下面求解∠A的正對函數(shù)值.
如圖③,在線段AB上截取AE=AC,則△ACE是以∠A為頂角的等腰三角形.
過點(diǎn)E作EF⊥AC,垂足為F.
∵EF⊥AC,AE=AC=3a,
∴在Rt△AFE中, , .
∴,
∴在Rt△CFE中, ,
∴.
下面求解∠B的正對函數(shù)值.
如圖④,在線段AB上截取BG=BC,則△BCG是以∠B為頂角的等腰三角形.
過點(diǎn)G作GH⊥AC,垂足為H.
∵BG=BC=4a,AB=5a,
∴AG=AB-BG=5a-4a=a.
∵GH⊥AC,AG=a,
∴在Rt△AHG中, , .
∴,
∴在Rt△CHG中, ,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)和點(diǎn)B的縱坐標(biāo)都是﹣2,
求:(1)一次函數(shù)的解析式;
(2)△AOB的面積;
(3)直接寫出一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值時x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【感知】如圖①,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,點(diǎn)D、E分別在邊AC、BC上,且DE∥AB,易證AD=BE(不需要證明).
【探究】連結(jié)圖①中的AE,點(diǎn)M、N、P分別為DE、AE、AB的中點(diǎn),順次連結(jié)M、N、P,其它條件不變,如圖②,求證:△MNP是等腰直角三角形.
【應(yīng)用】將圖②中的點(diǎn)D、E分別移動到AC、BC的延長線上,其它條件不變,在連結(jié)BD,并取其中點(diǎn)Q,順次連結(jié)M、N、P、Q,如圖③,若=,且DE=,則四邊形MNPQ的面積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,半圓O的直徑MN=6cm,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=6cm,半圓O以1cm/s的速度從左向右運(yùn)動,在運(yùn)動過程中,點(diǎn)M、N始終在直線BC上,設(shè)運(yùn)動時間為t(s),當(dāng)t=0s時,半圓O在△ABC的左側(cè),OC=4cm.
(1)當(dāng)t為何值時,△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切?
(2)當(dāng)△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在圓相切時,如果半圓O與直線MN圍成的區(qū)域與△ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分,求重疊部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分9分)
已知關(guān)于x的一元二次方程x2–(m–3)x–m=0,
(1)求證:方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)如果方程的兩實(shí)根分別為x1、x2,且x12+x22–x1x2=7,求m的值.
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