Question

已知：如圖1所示，Rt△ABC與Rt△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，AC=kBC，AE=kDE，點O為線段BD的中點．探索∠COE、∠ADE之間有怎樣的數(shù)量關系，證明你的結(jié)論．
（1）點E在CA延長線上（如圖2）；
（2）k=1，點E在CA延長線上（如圖3）．

Answer 1

證明：如圖1，取AD、AB中點M、N，連接EM、MO、ON、CN，AD與EO
相交于點F，則：
EM=DM=MA，CN=AN=BN
∴∠AME=2∠ADE，∠ANC=2∠ABC
∵O為BD中點
∴OM=AN=CN，OM‖AN，ON=AM=EM，ON‖AD
∴四邊形ANOM為平行四邊形
∴∠AMO=∠ANO，∠AFE=∠NOE
∵∠ACB=∠AED=90°，AC=kBC，AE=kDE
∴Rt△ABC∽Rt△ADE
∴∠ADE=∠ABC
∴∠AME=∠ANC
∴∠EMO=∠ONC
∴△EMO≌△ONC
∴∠NOC=∠MEO
∵∠AFE=∠AME+∠MEO
∠NOE=∠COE+∠NOC
∴∠COE=∠AME
∴∠COE=2∠ADE

選擇條件（1）
證明：延長EO交CB的延長線于點F，
∵∠ACB=∠AED=90°
∴ED∥CF
∴∠DEO=∠F，∠EDO=∠FBO
∵O為BD中點
∴DO=BO
∴△EDO≌△FBO
∴ED=FB，EO=FO
∵∠ACB=90°
∴CO=OF=EO
∴∠F=∠OCF
∴∠COE=∠F+∠OCF=2∠F
∵AC=kBC，AE=kDE
CE=AC+AE，CF=BC+BF
∴EA：CE=ED：CF=1：（K+1）
∵∠ACB=∠AED=90°
∴△EAD∽△CEF
∴∠ADE=∠F
∴∠COE=2∠ADE

選擇條件（2）
證明：延長EO交CB的延長線于點F
∵∠ACB=∠AED=90°AE=DE
∴ED‖CF，∠ADE=45°
∴∠DEO=∠F，∠EDO=∠FBO
∵O為BD中點
∴DO=BO
在△EDO和△FBO中，
，
∴△EDO≌△FBO
∴ED=FB，EO=FO
∵AC=BC，AE=DE
∴CE=CF
∴CO⊥EF
∴∠COE=90°
∴∠COE=2∠ADE．
分析：（1）取AD、AB中點M、N，連接EM、MO、ON、CN，AD與EO相交于點F，先證明Rt△ABC∽Rt△ADE，然后證明△EMO≌△ONC即可證明；
（2）延長EO交CB的延長線于點F，證明△EDO≌△FBO，ED=FB，EO=FO，由AC=BC，AE=DE，可得CE=CF，從而CO⊥EF，可得∠COE=90°，可得∠COE=2∠ADE．
點評：本題考查了相似三角形及全等三角形的判定與性質(zhì)，難度較大，關鍵是掌握相似三角形及全等三角形的判定與性質(zhì)．