Question

26、已知：如圖1所示，Rt△ABC與Rt△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，AC=kBC，AE=kDE，點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn)．探索∠COE、∠ADE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論．
說(shuō)明：如果你反復(fù)探索沒(méi)有解決問(wèn)題，可以選取（1）和（2）中的條件，選（1）中的條件完成解答滿分為7分；選（2）中的條件完成解答滿分為4分．
（1）點(diǎn)E在CA延長(zhǎng)線上（如圖2）；
（2）k=1，點(diǎn)E在CA延長(zhǎng)線上（如圖3）．

Answer 1

分析：（1）取AD、AB中點(diǎn)M、N，連接EM、MO、ON、CN，AD與EO相交于點(diǎn)F，先證明Rt△ABC∽R(shí)t△ADE，然后證明△EMO≌△ONC即可證明；
（2）延長(zhǎng)EO交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，證明△EDO≌△FBO，ED=FB，EO=FO，由AC=BC，AE=DE，可得CE=CF，從而CO⊥EF，可得∠COE=90°，可得∠COE=2∠ADE．

解答：證明：如圖1取AD、AB中點(diǎn)M、N，連接EM、MO、ON、CN，AD與EO
相交于點(diǎn)F則：
EM=DM=MA，CN=AN=BN
∴∠AME=2∠ADE，∠ANC=2∠ABC
∵O為BD中點(diǎn)
∴OM=AN=CN，OM‖AN，ON=AM=EM，ON‖AD
∴四邊形ANOM為平行四邊形
∴∠AMO=∠ANO∠AFE=∠NOE
∵∠ACB=∠AED=90°，AC=kBC，AE=kDE
∴Rt△ABC∽R(shí)t△ADE
∴∠ADE=∠ABC
∴∠AME=∠ANC
∴∠EMO=∠ONC
∴△EMO≌△ONC
∴∠NOC=∠MEO
∵∠AFE=∠AME+∠MEO
∠NOE=∠COE+∠NOC
∴∠COE=∠AME
∴∠COE=2∠ADE
選擇條件（1）
證明：延長(zhǎng)EO交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
∵∠ACB=∠AED=90°
∴ED‖CF
∴∠DEO=∠F，∠EDO=∠FBO
∵O為BD中點(diǎn)
∴DO=BO
∴△EDO≌△FBO
∴ED=FB，EO=FO
∵∠ACB=90°
∴CO=OF=EO
∴∠F=∠OCF
∴∠COE=∠F+∠OCF=2∠F
∵AC=kBC，AE=kDE
CE=AC+AE，CF=BC+BF
∴EA：CE=ED：CF=1：（K+1）
∵∠ACB=∠AED=90°
∴△EAD∽△CEF
∴∠ADE=∠F
∴∠COE=2∠ADE
選擇條件（2）
證明：延長(zhǎng)EO交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F
∵∠ACB=∠AED=90°AE=DE
∴ED‖CF∠ADE=45°
∴∠DEO=∠F，∠EDO=∠FBO
∵O為BD中點(diǎn)
∴DO=BO
∴△EDO≌△FBO
∴ED=FB，EO=FO
∵AC=BC，AE=DE
∴CE=CF
∴CO⊥EF
∴∠COE=90°
∴∠COE=2∠ADE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形及全等三角形的判定與性質(zhì)，難度較大，關(guān)鍵是掌握相似三角形及全等三角形的判定與性質(zhì)．