Question

3．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CB以1cm/s的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以acm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)C為圓心，CP為長(zhǎng)為半徑畫(huà)⊙C交AC于點(diǎn)D，連接PQ、DQ、PD．若在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中PQ與⊙C始終保持相切，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．
（1）a=$\frac{5}{3}$；
（2）當(dāng)S_△PQD=$\frac{2}{9}$S_△ABC時(shí)，求t的值；
（3）是否存在t的值，使得△PQD是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作QM⊥AC于M．首先證明四邊形PCMQ是矩形，由QM∥BC，得$\frac{QM}{BC}$=$\frac{AQ}{AB}$，可得方程$\frac{t}{6}$=$\frac{at}{10}$，解方程即可．
（2）由PQ∥AC，得$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{BP}{BC}$，即$\frac{PQ}{8}$=$\frac{6-t}{6}$，推出PQ=$\frac{4}{3}$（6-t），根據(jù)S_△PQD=$\frac{2}{9}$S_△ABC，列出方程，解方程即可．
（3）分兩種情形討論）①當(dāng)∠PDQ=90°，易知△PDQ是等腰直角三角形，則有$\frac{1}{2}$PQ=PC，②當(dāng)∠PQD=90°時(shí)，則有AM+CD=8，分別構(gòu)建方程解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1中，作QM⊥AC于M．

在Rt△ABC中，∵AB=10，AC=8，
BC=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵PQ是⊙C的切線，
∴PQ⊥BC，
∴∠QPC=∠PCM=∠CMQ=90°，
∴四邊形PCMQ是矩形，
∴QM=PC=t，
∵QM∥BC，
∴$\frac{QM}{BC}$=$\frac{AQ}{AB}$
∴$\frac{t}{6}$=$\frac{at}{10}$，
∴a=$\frac{5}{3}$cm/s．
故答案為$\frac{5}{3}$．

（2）∵PQ∥AC，
∴$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{BP}{BC}$，
∴$\frac{PQ}{8}$=$\frac{6-t}{6}$，
∴PQ=$\frac{4}{3}$（6-t），
∵S_△PQD=$\frac{2}{9}$S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{3}$（6-t）•t=$\frac{2}{9}$•$\frac{1}{2}$•6•8，
∴t=2或4．

（3）①當(dāng)∠PDQ=90°，易知△PDQ是等腰直角三角形，則有$\frac{1}{2}$PQ=PC，
∴$\frac{4}{3}$（6-t）=2t，
∴t=$\frac{12}{5}$．
②當(dāng)∠PQD=90°時(shí)，則有AM+CD=8，
∴$\frac{4}{3}$t+t=8，
∴t=$\frac{24}{7}$，
綜上所述，t=$\frac{18}{11}$s或$\frac{24}{7}$s時(shí)，△PQD是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、矩形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考?jí)狠S題．